Bonjour,

je dois classer des fonctions par ordre croissante.
Par exemple:
(ln n)^2 ;
(rac(n) ;
(ln n^2) ;
(rac(n) ln n) ;


Aurez vous une technique?

merci par avance

C'est quoi la définition de ton ordre?
En d'autres termes, à quelle condition une fonction est "plus grande" qu'une autre?

Bonjour,

pour compléter la remarque de Castor Jo, il est facile de vérifier que certaines des fonctions indiquées se croisent , parfois deux fois .
Donc on ne peut même pas définir d'ordre dans le sens une reste toujours supèrieure à l'autre.

On peut éventuellement définir leur ordre pour une valeur de n donnée?

Peut-être qu'il parle de l'ordre quand n tend vers l'infini...

oui je parle pour l'infini

Ok.

<math>\(f(x)=\ln(x^2)=2\ln(x)\)</math> Donc cela croît comme <math>\(f(x)=\ln(x)\)</math> (mais c'est supérieur).

Pour le truc des racines : dis toi que l'exponentielle croît beaucoup plus que tout polynôme (dont le terme de plus haut degré est positif) vers l'infini.
En particulier pour la fonction carrée.

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle.
La fonction racine carrée est la réciproque de la fonction carrée (sur <math>\(\mathbb{R^+}\)</math>).

La fonction logarithme croît donc beaucoup moins vite que la fonction racine carrée (elle est plus proche de l'axe y=0).

Ceci n'est pas une démonstration attention !

Bonjour,
La comparaison de deux fonctions à l'infini peut se faire en comparant le comportement asymptotique de leur rapport quand <math>\(\[ x\longrightarrow\infty \]\)</math>.
Le cas le moins immédiat dans les exemples cités est celui de la comparaison de la racine au logarithme ou à une de ses puissances.
Pour cela, si on veut une démonstration formelle , il faut connaitre le résultat suivant:
<math>\(\[ \frac{(ln(x))^{\alpha}}{x^{\beta}} \]\)</math> tend vers zéro si <math>\(\[ x\longrightarrow\infty \]\)</math> dés que <math>\(\[ \beta>0 \]\)</math>.
Ce qui permet donc de comparer le logarithme et la racine carré et de voir que la racine croit plus vite que toute puissance du logarithme pour x assez grand.
remarque:
la preuve du résultat n'est pas extrêmement compliqueé . Une façon de faire est de le montrer d'abord pour <math>\(\[ \dfrac{ln(x)}{x} \]\)</math>. ( utiliser le théoème des accroissement finis pour un intervalle ad hoc) . On généralise ensuite par des changements de variables.

Merci pour vos réponses