Bonsoir a tous

J'ai un exercice de mathématiques, niveau BAC+2, qui me pose un petit soucis... En fait je ne sais pas trop comment démarrer

<math>\(u \in C^{1}(\mathbb{R}, C) ; \phi\in C^{1}(\mathbb{R}, C)\)</math>

On considère l'équation :

<math>\(v(x) - \frac{z}{2*\pi}*\int_0^{2\pi}u(x-t)v(t)dt = \phi(x)\)</math>

Montrer qu'elle admet une unique solution pour z <math>\(\in\)</math> ??? (ensemble qu'il faudra déterminer)

Merci de votre aide, bonne soirée

Qui est C ? Le corps des complexes ? Qui est v ? L'inconnue est v ou x ? Dans quel contexte vois tu ça ? As tu des question préliminaires ?
Ne veux tu pas écrire <math>\(u\in \mathcal{C}^1\)</math> au lieu de <math>\(u(x)\in\mathcall{C}^1\)</math> ?

Edit : une idée : si ton inconnue est v, as tu essayé de voir ce que donne le théorème du point fixe de Picard ?

Alors...

Il me semble que c'est une égalité de fonction, pour tout x réel ; et la balise mathbb refusait de me mettre le corps des complexes
J'ai édité mon post, effectivement écrit comme avant mon prof de math m'aurait lapidé sur place
Non, je n'avais pas de questions préliminaires, il s'agit d'un exercice d'oral de concours de cette anée

Pour ton édit, je ne connais pas ce théorème, il n'est pas aux programme (j'ai vérifié)

Regarde du coté du théorème du point fixe.
Montre que ton application est une contraction et que tu es sur un espace complet, et normalement le théorème s'appliquera sans soucis, prouvant l'existence de ta solution unique.

Évidemment, il faut modifier un peu ta fonction pour en obtenir une seconde qui équivaut à g(xn) = xn ou (Xn) est une suite de ton espace complet.

EDIT : grillé par sebsheep.

Oui la clef est sans doute le théorème de point fixe de Banach !
J'aurais posée l'application

<math>\(T : V \subseteq C^0(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \rightarrow C^0(\mathbb{R}, \mathbb{C}) : v \mapsto Tv\)</math>.

où pour tout nombre réel <math>\(x\)</math>,

<math>\(Tv (x) = \phi(x) + \frac{z}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x-t)vdt\)</math>.

Remarque que tes solutions sont exactement les points fixes de cette application (<math>\(Tv = v\)</math>).

Il te reste à trouver l'espace <math>\(V\)</math> tel que...

• ce soit un espace complet,
• le codomaine de l'application soit également <math>\(V\)</math>,
• <math>\(T\)</math> soit une contraction.

Ça peut être un peu délicat à trouver si <math>\(V \neq C^0(\mathbb{R},\mathbb{C})\)</math> ! Mais ceci fait, Banach dis tout de suite que tu as une et une seule solution.

Edit : Il est intéressant de remarquer qu'on peut trouver "explicitement" les solutions si on a une 2<math>\(\pi\)</math>-périodicité sur <math>\(u\)</math> et <math>\(\phi\)</math> (plus sans doute certaines conditions de régularité à discuter à postériori) par développement en séries de Fourier. Si vous avec une idée pour trouver sans cette condition je serais intéressé !

Ton message me fait penser a quelque chose....
Il y avait effectivement une hypothèse de 2<math>\(\pi\)</math> périodicité dans le problème (j'ai mal du noter l'exercice a la fin de mon oral)

Désolé...
Je vais essayer de le faire en utilisant les séries de Fourier, mais... Si vous pouvez m'aider

Sinon, pourquoi z appartiendrait a un ensemble particulier? A cause de l'hypothèse sur V?

Tu peux résoudre formellement l'équation par des séries de Fourier.
Grâce au théorème de Fejèr tu sais que si deux fonctions continues 2<math>\(\pi\)</math>-périodiques ont les même coefficients de Fourier alors elles sont égales. L'idée est donc de chercher formellement ces coefficient

Si on calcule les coefficients de Fourier <math>\(c_n\)</math> pour <math>\(\int_0^{2\pi}u(x-t)v(t)dt\)</math> par exemple...



On est dans les conditions du théorème de Fubini puisque <math>\(u(x-t)v(t)e^{-inx} \in L^1(0,2\pi)\)</math> et donc tu permute les deux intégrales... Et avec une petite feinte du loup numéro 27 (voir que <math>\(e^{-inx} = e^{-in(x - t)}e^{-int}\)</math>) ça donne...




Et si on dénote les coefficients de Fourier de <math>\(u\)</math> et <math>\(v\)</math> respectivement par <math>\(c_n^{(u)}\)</math> et <math>\(c_n^{(v)}\)</math>, on a... (grâce à la périodicité de <math>\(u(x-t)e^{-in(x - t)}\)</math> on peut jarter le t)



(aucune garantie contre d'éventuelles erreurs de calcule ^^)

Voilà pour le début

Quand tu auras la solution formelle sous les yeux, tu devrais voir que z doit avoir certaines propriétés.

Citation : revan

Tu peux résoudre formellement l'équation par des séries de Fourier.
Grâce au théorème de Fejèr tu sais que si deux fonctions continues 2<math>\(\pi\)</math>-périodiques ont les même coefficients de Fourier alors elles sont égales.

L'égalité de Parseval suffit, non ?

Citation : krosian

L'égalité de Parseval suffit, non ?

Ça doit pouvoir se montrer avec l'identité de Parseval oui... Si f et g ont les mêmes coefficients de Fourier on utilise Parseval pour montrer que la norme <math>\(L^2\)</math> de f - g est nulle.

Mais Parseval découle du théorème de Fejèr (tu connais peut-être une preuve de l'identité de Parseval qui ne l'utilise pas ?), donc c'est plutôt le théorème de Fejèr qui "suffit"

La preuve de l'identité de Parseval que je connais est celle présentée dans l'article Inégalité de Bessel. C'est peut-être une déformation prépaesque que de présenter les choses comme ça (en prépa on ne fait qu'évoquer le noyau de Fejèr à titre d'exercice !), peut-être parce qu'on ne fait pas d'intégrale de Lebesgue.

L'égalité de Bessel-Parseval, j'en connais une preuve qui utilise uniquement l'existence d'une base orthonormée dans un espace de dimension infinie.

Peut-être qu'elle utilise le théorème Fejer sans le dire, mais il me semble pas connaitre ce théorème, en tout cas sous ce nom.

PS : revan, désolé de mon manque de réponse à tes PM, je suis en exam et je ne fais que passer. Je répondrai dès que le temps sera avec moi... <<

Ok pour la démonstration algébrique dans le cas général, mais pour l'appliquer au cas des séries de Fourier ne faut-il pas commencer par en montrer la convergence <math>\(L^2\)</math> ? Ce qui se fait grâce à Fejer (ou du moins c'est la preuve que je connais). Et à la théorie de la mesure de Lebesgue

Ce théorème dit (entre autres) que si une fonction f est périodique et continue, la moyenne de Césaro des séries de Fourier partielles converge uniformément vers f.

PS : Hod pas de soucis, tu répondras quand tu auras le temps

Salut Nuelfild, pourrais-tu modifier le titre de ton sujet afin de le rendre plus clair (expliquer le contenu de ton topic en quelques mots) ? Merci de ta compréhensin.

Réponse : pour z <math>\(\in\)</math> {0}, la seule solution est <math>\(\phi\)</math>