Bonsoir,

Dans la partie du cours sur la statique, j'ai l'exemple d'exercice suivant :

Citation

Une valise de masse <math>\(M = 10 \text{kg}\)</math>, posée sur le trottoir d’une rue en pente (inclinée de 5,8° par rapport à l’horizontale), se met à descendre la rue à vitesse constante. Quelle est la valeur de la force de frottements ? (Donnée : champ de pesanteur <math>\(g = 9.8 \text{ } m \cdot s^{-2}\)</math>)

Réponse :

La valise est soumise à un ensemble de 3 forces :

• son poids <math>\(\overrightarrow{P}\)</math> (verticale, vers le bas),
• la réaction normale du sol <math>\(\overrightarrow{N}\)</math> (perpendiculaire au sol, vers le haut),
• les frottements <math>\(\overrightarrow{f}\)</math> (parallèles à la direction de la rue, de sens opposé à la vitesse donc vers le haut).

La valise glissant en un mouvement rectiligne uniforme, nous pouvons écrire que d’après le principe d’inertie <math>\(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f} = \overrightarrow{0}\)</math>.

Comme nous ne savons rien à propos de la valeur de la réaction normale <math>\(\overrightarrow{N}\)</math>, nous allons la faire disparaître de nos calculs en projetant la relation que nous venant d’obtenir sur un axe (Ox) que nous choisissons perpendiculaire à <math>\(\overrightarrow{N}\)</math> comme indiqué sur le schéma ci-contre.

En projection sur l’axe (Ox) la relation devient : <math>\(-f_x -N_x +P_x = 0\)</math>,
avec <math>\(f_x = || \overrightarrow{f} ||\)</math> ; <math>\(N_x = 0\)</math> et <math>\(P_x = || \overrightarrow{P} || \sin{\alpha}\)</math>

Nous déduisons alors que <math>\(- ||\overrightarrow{f}|| - 0 + ||\overrightarrow{P}|| \sin{\alpha} = 0\)</math>

Donc <math>\(||\overrightarrow{f}|| - 0 + ||\overrightarrow{P}|| \sin{\alpha} = M g \sin{\alpha} = 9,9 N\)</math>

Je pense avoir compris en gros, mais j'aimerais clarifier quelques points :

- En vertu de quel principe on effectue la projection de <math>\(\overrightarrow{P}\)</math> sur Ox ?

- Pourquoi on note <math>\(-f_x -N_x +P_x = 0\)</math>, et pas par exemple <math>\(-f_x +N_x +P_x = 0\)</math>, ou plus simplement et plus précisément <math>\(-f_x +P_x = 0\)</math> ?

Merci d'avance !

Bonsoir,

tu as le droit de projeter sur l'axe qui te convient. Le principe d'inertie est indépendant du système de coordonnées que tu choisis: "Pour un solide en mouvement rectiligne uniforme, la somme (vectorielle) des forces qui s'appliquent au solide est nulle", en particulier cela doit se vérifier pour n'importe quelle composante du vecteur, or les composantes dépendent du repère que tu as choisis, d'où la réponse à ta première question.
Concernant ta seconde question, je trouve la réponse un peu maladroite, mais tu as raison, <math>\(N_x\)</math> étant nul, on peut l'écrire également à ta manière.

Bonne soirée

Marc

Merci !

En fait, justement, ce que je ne suis pas sur de bien saisir, c'est la notion de projection. Il semble admis que <math>\(\overrightarrow{f} + \overrightarrow{P} = \overrightarrow{f} + \overrightarrow{P_x}\)</math>, or mes lacunes en calcul vectoriel m’empêchent de savoir pourquoi... Pouvez vous m'orienter, svp ?

Citation : yoch

Il semble admis que <math>\(\overrightarrow{f} + \overrightarrow{P} = \overrightarrow{f} + \overrightarrow{P_x}\)</math>

Ah non, sûrement pas.
Qu'est-ce qui te fait dire cela ?

Bon, c'est plus grave que je ne le pensais...

Alors voila, dans le cours, il donnent cette équivalence :

Citation

- d’après le principe d’inertie <math>\(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f} = \overrightarrow{0}\)</math>.
- En projection sur l’axe (Ox) la relation devient : <math>\(-f_x -N_x +P_x = 0\)</math>,

Je me pose 2 questions (je suppose que la réponse ne fait qu'une) :

• Comment sont ils passés des vecteurs aux normes (je croyais avoir compris, mais je n'en suis plus certain) ?
• Comment <math>\(\overrightarrow{P}\)</math> est devenu <math>\(P_x\)</math> ?

C'est la projection qui permet de passer des vecteurs aux normes.
Imagine un repère orthonormé (0, <math>\(\vec{e_x}\)</math>, <math>\(\vec{e_y}\)</math>).
Dans ce repère, tu as <math>\(\vec{P} = P_x\vec{e_x}+ P_y\vec{e_y}\)</math>.
Tu peux décomposer n'importe quel vecteur de cette façon.
La projection du vecteur <math>\(\vec{P}\)</math> sur la droite (Ox) est par définition le produit scalaire <math>\(\vec{P}.\vec{e_x}=P_x\)</math>, qui est un nombre.

Si on détaille tout, dans ton énoncé en choisissant la droite (Ox) selon l'axe de la force de frottements, tu as :
<math>\(\vec{P} = P_x\vec{e_x}+ P_y\vec{e_y}\)</math>
<math>\(\vec{N} = N_x\vec{e_x}+ N_y\vec{e_y}=N_y\vec{e_y}\)</math>
<math>\(\vec{f} = -f_x\vec{e_x}+ f_y\vec{e_y}=-f_x\vec{e_x}\)</math>
(Le moins est là uniquement parce qu'ils souhaitaient avoir <math>\(f_x >0\)</math>).
Comme on a :
<math>\(\vec{P}+\vec{N}+\vec{f}=\vec{0}\)</math>
on obtient :
<math>\(P_x\vec{e_x}+ P_y\vec{e_y}+N_y\vec{e_y}-f_x\vec{e_x}=0\)</math>
Et si tu projettes sur l'axe (Ox), donc en faisant le produit scalaire par <math>\(\vec{e_x}\)</math>, tu obtiens bien
<math>\(P_x-f_x=0\)</math>

(Je ne connais pas ton niveau, dis-moi si ce n'est pas clair.)

Citation : ml22

C'est la projection qui permet de passer des vecteurs aux normes.

Comment cela mathématiquement ?

Citation : ml22

Imagine un repère orthonormé (0, <math>\(\vec{e_x}\)</math>, <math>\(\vec{e_y}\)</math>).
Dans ce repère, tu as <math>\(\vec{P} = P_x\vec{e_x}+ P_y\vec{e_y}\)</math>.
Tu peux décomposer n'importe quel vecteur de cette façon.

OK.

Citation : ml22

La projection du vecteur <math>\(\vec{P}\)</math> sur la droite (Ox) est par définition le produit scalaire <math>\(\vec{P}.\vec{e_x}=P_x\)</math>, qui est un nombre.

Le produit scalaire, j'ai plutôt mal vu en fin d'année dernière...
Enfin, ayant relu mon cours, je vois à peu près ce que tu veux dire.

Merci, en tous cas !

Citation : yoch

Comment cela mathématiquement ?

Que veux-tu dire ?

Et j'ai repris tes propres termes, mais le mot "norme" est ici (très) mal choisi, vu qu'il a un sens très précis quand on parle de vecteurs.
La norme usuelle (euclidienne) de <math>\(\vec{P}\)</math> est
<math>\(\parallel \vec{P} \parallel = \sqrt{P_x^2+P_y^2}\)</math>

Citation : ml22

Que veux-tu dire ?

Ben, comment tu justifie au final que :

<math>\(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow -f_x -N_x +P_x = 0\)</math>

Citation : ml22

Et j'ai repris tes propres termes, mais le mot "norme" est ici (très) mal choisi, vu qu'il a un sens très précis quand on parle de vecteurs.
La norme usuelle (euclidienne) de <math>\(\vec{P}\)</math> est
<math>\(\parallel \vec{P} \parallel = \sqrt{P_x^2+P_y^2}\)</math>

Je n'ai fait que reprendre les termes de mon cours, je crois :

Citation

avec <math>\(f_x = || \overrightarrow{f} ||\)</math> ; <math>\(N_x = 0\)</math> et <math>\(P_x = || \overrightarrow{P} || \sin{\alpha}\)</math>

Pourquoi c'est mal choisi ? Parce qu'il ne s'agit pas de distance, mais de force ? Au final, il s'agit bien de la "longueur" du vecteur, non ?

Comment devrais je dire, selon toi ?

Oui, si tu veux, c'est la "longueur" du vecteur. Si c'est clair pour toi, tout va bien. (Je ne voulais pas te laisser penser que <math>\(P_x\)</math> était la norme de <math>\(\vec{P}\)</math>, c'est pour ça. )

Et pour la justification, quand on a :
<math>\(P_x\vec{e_x}+ P_y\vec{e_y}+N_y\vec{e_y}-f_x\vec{e_x}=\vec{0}\)</math>
et qu'on fait le produit scalaire par <math>\(\vec{e_x}\)</math>, on obtient le résultat final (j'ai considéré <math>\(N_x\)</math> comme nul, c'est pour ça qu'il n'apparaît pas).
C'est lié aux propriétés du produit scalaire.
Tu as
<math>\(\vec{e_x}.\vec{e_x}=1\)</math>
et
<math>\(\vec{e_x}.\vec{e_y}=0\)</math>
car les vecteurs sont orthogonaux.

Après, si tu as mal vu le produit scalaire l'année dernière, je comprends que tu aies du mal.

Bonjour,

Visiblement, la nuit porte conseil, je viens de capter le truc.

Sujet résolu. Et encore merci.