Bonjour à tous,

J'ai un devoir maison à faire pour demain. Je suis en train d'essayer de le résoudre depuis Samedi dernier mais sans succès. Au début j'avais penser à Thalès mais je m'étais emmêler dans ce qu'il prouvait (je pensais qu'il pourrait me permettre de démontrer que 3 points sont alignés mais le théorème et sa réciproque fonctionne seulement si les trois points sont alignés).

D'abord voici l’énoncé pour ne pas vous embrouiller :

Citation

ABCD est un carré de centre O.
M est un point de la diagonale [AC] différent du point O.
La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en I et [BC] en J.
La parallèle à (AD) passant par M coupe [AB] en K et [DC] en L.
Les droites (IL) et (AC) se coupent en P.

Démontrer que les points K, J et P sont alignés.

Alors voilà, j'avais pensé à utiliser le théorèmes de Thalès mais bon c'est faux. Alors je ne saivais pas quoi faire sans les coordonnées du point P.

Mais en cherchant un peu sur le net, j'ai vu qu'il était possible de calculer les coordonnées de l'intersection de deux droites. Cependant je n'arrive pas à les calculer. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment faire ou même me rediriger vers un cours expliquant cette méthode qui parle de l'équation d'une droite?

J'ai chercher sur internet et j'ai trouvé des cours. Par exemple il y a cette formule : y=mx+p.

Mais il n'est pas expliqué à quoi corresponde y, mx et p. En gros je galère!

Sinon j'ai tout de même calculer le coefficient directeur de la première droite. Il s'agit de 3/7. Mais cela est il gênant que ce soit un fraction pour la suite?

Merci d'avance de votre aide car je suis un peu perdu dans toutes ces formules que j'applique sans même les comprendre ni savoir pourquoi je les utilise, ce qui n'est pas du tout utile selon moi pour progresser et être capable de le refaire.

PS : Pour m'aider, j'ai fait la figure sur géoplan géospace si ça peux vous aider (moi ça ne m'a pas servi) :

Cliquer pour agrandir.

Hello !
D'abord, un conseil : on utilise pas un outil que l'on ne connaît pas pour résoudre un exo. On maîtrise l'outil avant de l'utiliser. Ensuite, je ne sais pas qui t'as dit d'utiliser des équations de droites, mais c'est parfaitement inutile (à moins que tu ne veuilles te compliquer la vie). Je ne vais pas te donner la réponse, mais te guider (si c'est floue, n'hésites pas, mais essaye vraiment par toi même). Alors, tout d'abord, essayes de regarder un peu la symétrie de ta figure (toujours, toujours, toujours utile en géométrie) autour de la droite (OA). Qu'en penses tu ? La solution devrait de sauter aux yeux je pense. Sache qu'en géométrie, faire une figure peut rendre un problème en apparence complexe trivial (évident).

Oui j'avais remarquer que la figure était symétrique, mais le problème, c'est que je ne suis pas censé l savoir car la droite (KJ) passant par P n'a rien à faire ici normalement. Je l'ai tracé pour me repérer. Je ne peux pas me baser sur la chose que je dois prouver. Je vois bien la solution mais je ne sais pas du tout comment le prouver. De plus, actuellement, on travail sur les vecteurs. Je pense que ça a un rapport.

PS : Je comprend que tu ne me donne pas la réponse et de toute manière si on a tout tout cuit dans le bec on ne peux progresser. De plus la fierté d'avoir réussi s'envole . Je veux juste une piste.

Voilà, je pense que la meilleure solution est celle avec les Équation des droites. Mais comme je n'utilise pas ce que je ne connais pas je compte sur vous pour me l'apprendre^^.

Non, non, les équation de droites, c'est inutile. Si tu as vu qu'elle est symétrique, prouve le et c'est dans la poche : tu prouve que c'est forcément symétrique et c'est bon.

Aide : prouve que les points sont symétriques : si d'un coté ils sont alignés, ils le sont de l'autre.

Ok. Je vais réfléchir à la façon dont je vais pouvoir prouver cela. Je remettrais ici mon raisonnement pour voir si c'est bon (ou faux ).

EDIT : Mais j'aimerais quand même savoir comment faire avec le calcul de l'intersection des deux droites (Je suis borné je sais!).

EDIT 2 : Je n'arrive pas du tout à démontrer la symétrie par exemple que L et J sont symétrique par rapport à (AC).

EDIT 3 : J'ai réussi

Passes en résolu alors. Et puis, si tu veux vraiment que l'on t'expliques avec les équations de droites, je veux bien essayer. (mais je me répète, ici, c'est plus s'embêter à sortir le buldozer pour détruire un piano, que se simplifier la vie).

Oui j'aimerais bien que tu m'explique pour les équations de droites. Car même si dans cet exercice c'est inutile, cela pourrait l'être dans une autre situation.

Merci beaucoup. Comme je t'ai demandé ça je dois passer en résolu ou non?

rien dit

EDIT : oty, c'est plus simple en considérant les carrés et leurs diagonales. Et ça peut fonctionner avec n'importe quel repère.

Passes en résolu puisque tu as pu résoudre ton problème.

Bon alors... Il faut d'abord expliquer ce qu'est une fonction affine.

Une fonction, c'est un objet mathématique qui prend un nombre en entrée (<math>\(x\)</math>) et qui en crache un autre (genre <math>\(x^2\)</math> pour la fonction carré).

On note cette fonction :
<math>\(f:x\longmapsto f(x)\)</math>, ici, donc <math>\(f:x\longmapsto x^2\)</math> Par commodité, on note <math>\(f(x)=x^2\)</math>.

On dit par ailleurs que l'image de <math>\(x\)</math> par <math>\(f\)</math> est <math>\(x^2\)</math> et que l'antécédent de <math>\(x^2\)</math> par <math>\(f\)</math> est <math>\(x\)</math>.

Un exemple pour briser la monotonie de ce discours dont l'aridité ferait frémir les cactus : pour cette fonction carrée toujours, calculons l'image de <math>\(5\)</math> : <math>\(f(5)=5^2=25\)</math>. Donc, l'image de 5 par <math>\(f\)</math> est <math>\(25\)</math>, et l'antécédent de <math>\(25\)</math> est <math>\(5\)</math>. Tiens, pour rigoler encore un coup (décidément, les sciences, je trouve ça toujours aussi bidonnant ), calculons l'image de <math>\(\pi\)</math> par la fonction <math>\(g(x)=\int_0^x\cos\left( x \times \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\;\text{d}x\)</math>... Non, je plaisante. C'est pour te montrer que des fonctions peuvent être assez compliquées.

Fort heureusement, celles qui nous intéresse sont les plus simples : les fonctions affines. Elles sont de la forme :
<math>\(f(x)=mx+p\)</math> où <math>\(m\)</math> et <math>\(p\)</math> sont des nombres constants.

Comme tu peux le voir, rien d'extraordinaire. Bon, intéressons nous à leurs propriétés. Tout d'abord, deux cas particuliers à considérer :

• <math>\(m=0\)</math>, on a donc <math>\(f(x)=p\)</math>, donc le nombre que va nous cracher la fonction est toujours le même (<math>\(p\)</math>) : la fonction est constante ;
• <math>\(p=0\)</math>, on a donc <math>\(f(x)=mx\)</math>, donc le nombre retourné est proportionnel au nombre mis en entrée : la fonction est dite linéaire (enfin, je crois, je ne suis pas sûr, de toute façon, ce n'est pas important).

Je crois que je vais en rester là pour la partie algébrique. Dis moi déjà si je te paume où non, parce que c'est essentiel pour ce qui nous intéresse (les équations de droites).

@dri1 , tu as raison travaillé avec un repère c'est plus compliqué puisqu'on travaille avec des variables ...

Je crois que tu as mal interprété ce que j'ai dit : bien sûr qu'il faut un repère (c'est impossible sinon), mais le choix de celui-ci n'a aucune importance, ça pourrait parfaitement marcher avec un repère <math>\((O,\vec{i},\vec{j})\)</math>, ou centré sur n'importe quel autre point. Bon, après, si on le centre en M, c'est peut-être plus compliqué (quoique, faut voir), et puis de toute façon, il est abberant de résoudre un problème de géométrie aussi élémentaire avec des équations de droites.

Il pourrait-être intéressant de donner un titre plus explicite à ce sujet. Un problème difficile ne l'est pas pour tout le monde, surtout en mathématiques.
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