1°/ <math>\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \qquad \qquad D_{f} = \mathbb{R}_{+}\)</math>

a) <math>\(x \mapsto x + 1\)</math> est dérivable et strictement positive sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(x \mapsto \sqrt{x + 1}\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et ne s'annule en aucun réel de <math>\([0, +\infty[\)</math>. Ainsi, <math>\(f\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(x \ge 0\)</math>,

<math>\(f'(x) = \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{x + 1} = -\frac{1}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}\)</math>

b) <math>\(\bullet\)</math> Soit <math>\(x \ge 0\)</math>

<math>\(x + 1 \ge 1\)</math> d'où <math>\(\sqrt{x + 1} \ge 1\)</math>

d'où <math>\(2(x + 1)\sqrt{x + 1} \ge 2\)</math>

d'où <math>\(0 \le \frac{1}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} \le \frac{1}{2}\)</math>

d'où <math>\(-\frac{1}{2} \le f'(x) \le 0\)</math>

Ainsi, pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>, <math>\(-\frac{1}{2} \le f'(x) \le 0\)</math>.

<math>\(\bullet~\cdot\)</math> Soit <math>\(x \in ]0, +\infty[\)</math>

On a <math>\(f\)</math> est continue sur <math>\([0, x]\)</math> et dérivable sur <math>\(]0, x[\)</math> et pour tout <math>\(t \in ]0, x[~~-\frac{1}{2} \le f'(t) \le 0\)</math>

ainsi <math>\(-\frac{1}{2}(x - 0) \le f(x) - f(0) \le 0(x - 0)\)</math>

d'où <math>\(-\frac{1}{2}x \le f(x) - 1 \le 0\)</math>

d'où <math>\(-\frac{1}{2}x + 1 \le f(x) \le 1\)</math> et <math>\(x > 0\)</math>

d'où <math>\((-\frac{1}{2}x + 1)x \le \frac{1}{\sqrt{x + 1}}x \le x\)</math>

d'où <math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

<math>\(\cdot\)</math> Soit <math>\(x = 0\)</math>

On a <math>\(0 - \frac{0^{2}}{2} \le \frac{0}{\sqrt{0 + 1}} \le 0\)</math> (vérifiée)

Par suite pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

<math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

c) <math>\(u(x) = x - \frac{x^{2}}{2}\)</math> ; <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

On a <math>\(u\)</math> est dérivable sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> en particulier sur <math>\([0, 1]\)</math> et pour tout <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

<math>\(u'(x) = 1 - x \ge 0\)</math>

<math>\(u'(x) = 0\)</math> ssi <math>\(x = 1\)</math>

Ainsi, <math>\(u\)</math> est strictement croissante sur <math>\([0, 1]\)</math>.
<math>\(u\)</math> est continue et strictement croissante sur <math>\([0, 1]\)</math> d'où <math>\(u\)</math> réalise une bijection de <math>\([0, 1]\)</math> sur <math>\(u([0, 1]) = [u(0), u(1)] = \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>
Soit <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

on pose <math>\(y = u^{-1}(x)\)</math>

on obtient <math>\(u(y) = x\)</math>

<math>\(u(y) = x\)</math> éq à <math>\(y - \frac{y^{2}}{2} = x\)</math>

éq à <math>\(-y^{2} + 2y - 2x = 0\)</math>

<math>\(\Delta = 4 - 8x\)</math>

<math>\(y = \frac{-2-\sqrt{4-8x}}{-2}\)</math> ou <math>\(y = \frac{-2+\sqrt{4-8x}}{-2}\)</math>

On a <math>\(0 \le x \le \frac{1}{2}\)</math>

d'où <math>\(0 \le 2x \le 1\)</math>

d'où <math>\(0 \le 1-2x \le 1\)</math>

d'où <math>\(0 \le \sqrt{1-2x} \le 1\)</math>

d'où <math>\(0 \le 1-\sqrt{1-2x} \le 1\)</math> et <math>\(1 \le 1+\sqrt{1-2x} \le 2\)</math>

Or <math>\(y \in [0, 1]\)</math>

d'où <math>\(y = 1-\sqrt{1-2x}\)</math>

Par suite pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

<math>\(u^{-1}(x) = 1 - \sqrt{1 - 2x}\)</math>

2°/ <math>\(g(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \qquad \qquad D_{g} = \mathbb{R}_{+}\)</math>

a) On a pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

<math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

D'où pour tout <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

<math>\(u(x) \le g(x) \le x\)</math>

Par suite la courbe <math>\(C_{u}\)</math> est au dessous ou sur la courbe <math>\(C_{g}\)</math> et la courbe <math>\(C_{g}\)</math> est au dessous ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.

Et pour tout <math>\(x \in ]1, +\infty[\)</math>

<math>\(g(x) \le x\)</math>

D'où <math>\(C_{g}\)</math> est au dessous ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.

b) <math>\(x \mapsto x + 1\)</math> est dérivable et strictement positive sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(x \mapsto \sqrt{x + 1}\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et ne s'annule en aucun réel de <math>\([0, +\infty[\)</math>, ainsi, <math>\(g\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

<math>\(g'(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - \dfrac{x}{2\sqrt{x + 1}}}{x + 1}\)</math>

<math>\(g'(x) = \frac{x + 2}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} > 0\)</math>

Ainsi, <math>\(g\)</math> est strictement croissante sur <math>\([0, +\infty[\)</math>.
<math>\(g\)</math> est continue et strictement croissante sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(g\)</math> réalise une bijection de <math>\([0, +\infty[\)</math> sur <math>\(g([0, +\infty[) = [g(0), \lim_{+\infty}g[ = [0, +\infty[\)</math>.

(<math>\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{1 + \dfrac{1}{x}} = +\infty\)</math>)

c) <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} = 0\)</math>

D'où, <math>\(C_{g}\)</math> admet une branche infinie parabolique de direction celle de <math>\((o, \vec{i})\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

3°/ <math>\((U_{n}) : \begin{cases} U_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ U_{n+1} = g^{-1}(U_{n})\end{cases} \qquad n \in \mathbb{N}\)</math>

a) On a <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>

D'où, pour tout <math>\(x \ge 0\)</math>

<math>\(g^{-1}(x) - x \ge 0\)</math>

<math>\(U_{n+1} - U_{n} = g^{-1}(U_{n}) - U_{n} \ge 0\)</math>

D'où, <math>\((U_{n})\)</math> est croissante.

b) On suppose que <math>\((U_{n})\)</math> est majorée par un réel <math>\(M \in [0, +\infty[\)</math>
On a <math>\((U_{n})\)</math> est croissante et majorée par <math>\(M\)</math> d'où, <math>\((U_{n})\)</math> converge vers un réel <math>\(l \in [0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\(U_{n} \le l\)</math>.
On a :
<math>\(\cdot ~ U_{n+1} = g^{-1}(U_{n})\)</math>

<math>\(\cdot ~ \lim_{n \to +\infty} U_{n} = l ~~ ; l \in [0, +\infty[\)</math>

<math>\(\cdot ~ g^{-1}\)</math> est continue sur <math>\([0, +\infty[\)</math> en particulier en <math>\(l\)</math>.

Ainsi, <math>\(g^{-1}(l) = l\)</math>

<math>\(g^{-1}(l) = l\)</math> éq à <math>\(l = 0\)</math>

Or : on a pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\(U_{n} \le l\)</math>

En particulier, <math>\(U_{0} \le l\)</math>

D'où, <math>\(\frac{1}{\sqrt{2}} \le 0\)</math>impossible

Par suite, <math>\((U_{n})\)</math> est non majorée.

c) On a <math>\((U_{n})\)</math> est croissante et non majorée d'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} U_{n} = +\infty\)</math>

4°/ a) D'après le graphique, pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>, la courbe <math>\(C_{u^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la courbe <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> et la courbe <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.
Ainsi, pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

<math>\(x \le g^{-1}(x) \le u^{-1}(x)\)</math>

d'où <math>\(x \le g^{-1}(x) \le 1 - \sqrt{1 - 2x}\)</math>

b) <math>\(V_{n} = ng^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) \qquad n \in \mathbb{N}^{*}\)</math>

Soit <math>\(W_{n} = \frac{1}{n} ~~ ; ~~ n \in \mathbb{N}^{*}\)</math> et <math>\(h(x) = \frac{g^{-1}(x)}{x} ~~ ; ~~ x \in ]0, +\infty[\)</math>

<math>\(\lim_{n \to +\infty} W_{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)</math>

<math>\(\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x) - g^{-1}(0)}{x - 0}\)</math>

On a <math>\(g\)</math> est dérivable en <math>\(0\)</math> et <math>\(g'(0) = 1 \neq 0\)</math> d'où <math>\(g^{-1}\)</math> est dérivable en <math>\(0\)</math> et

<math>\((g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{1} = 1\)</math>

D'où, <math>\(\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x) - g^{-1}(0)}{x - 0} = (g^{-1})'_{d}(0) = (g^{-1})'(0) = 1\)</math>

Ainsi <math>\(\lim_{n \to +\infty} h(W_{n}) = 1\)</math>

D'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} V_{n} = 1\)</math>

Le problème c'est que la question b) doit être une déduction, alors qu'ici je n'ai pas déduit. En fait, la première chose qui saute aux yeux c'est l'encadrement de <math>\(g^{-1}(x)\)</math> dans la question a) qui permet de calculer sa limite en <math>\(0\)</math> :

<math>\(\lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 - 2x} = 0\)</math>

D'où <math>\(\lim_{x \to 0} g^{-1}(x) = 0\)</math>

<math>\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)</math>

Et <math>\(\lim_{x \to 0} g^{-1}(x) = 0\)</math>

D'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} g^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) = 0\)</math>

Mais, ça ne mène nulle part puisque

<math>\(\lim_{n \to +\infty} n = +\infty\)</math>

On obtient donc une forme indéterminée <math>\(+\infty \times 0\)</math>.