Bonsoir à tous.
J'ai un petit DM de maths, et j'ai du mal a comprendre l'énoncé d'un exercice :

Citation : Enoncé

Soit f la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R^*}\)</math> par <math>\(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\)</math>.
1. Conjecture
a. A l'aide de la calculatrice, donner l'allure de la courbe de f sur l'intervalle <math>\([-4;4]\)</math>, puis sur <math>\([-0.1;0.1]\)</math>.
b. Que semble devenir f(x) lorsque x prend des valeurs proches de 0?

2.Démonstration
a.Quelle est la valeur de <math>\(\sin'(0)\)</math> ?
b.La conjecture émise en 1 est-elle validée? Justifier.

Lors de la conjecture, j'ai dit que f(x) semble devenir la fonction constante f(x)=1 au voisinage de 0. Cela implique donc deux choses :

• <math>\(\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1\)</math>
• <math>\(\lim\limits_{x \to 0} f'(x)=0\)</math>

Dans la démonstration, je n'ai réussi qu'a démontrer la limite de f(x), mais pas la limite de la dérivée (j'arrive à des formes indéterminées).

Ma question, faut-il seulement dire que f(x) se rapproche de 1 lorsque x se rapproche de 0, qui ne nécessiterait pas d'étudier la dérivée de f ?

Merci d'avance

Je pense qu'il faut juste dire que la limite de f en 1 vaut 0, au passage, cette fonction (qu'on prolonge par continuité en 0 par 1) sert tellement souvent (notamment en traitement du signal et pour traiter les problèmes interférences lumineuse) qu'on lui a donné un petit nom : il s'agit de la fonction sinus cardinal.

Je rejoint l'avis de rushia, je pense qu'il suffit de dire que la limite de f en 1 vaut 0.

Cordialement,

Ok merci beaucoup, j'ai cherché plus compliqué que ce qu'il fallait, mais j'ai appris des trucs alors ça va.

Enfin, tu as quand même raison, la limite de <math>\(f'\)</math> tend bien vers 0 en 0, mais la démonstration la plus "simple" fait intervenir la notion de développement limité.

En gros on fait un DL en 0 à l'ordre 4 :
<math>\(f(x)=\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}{x}\)</math>
<math>\(f(x)=1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\)</math>
Puis on dérive :
<math>\(f'(x)=\frac{x}{3}+o(x^2)\)</math>
<math>\(f'(0)=0\)</math>

Ou bien c'est plus compliqué que ça (et je me gourre totalement ) ?

Je pensais plus à un DL à l'ordre 2 du cosinus et a l'ordre 3 du sinus au numérateur de la dérivée <math>\(f'(x)=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\)</math> (qui donne un DL au premier ordre de la dérivée, mais qui suffit pour trouver la limite)
je ne me souvient plus très bien des conditions pour dériver un DL (je crois que dans le cas général la dérivée n'admet pas forcement de DL, même si la fonction en admet un, mais que dans le cas ou la dérivée en admet un, c'est bien la dérivée de celui de la fonction initiale)

En fait tu ne peux pas dériver comme ça les petit o. La dérivée de <math>\(o(x^3)\)</math> n'est pas forcément un <math>\(o(x^2)\)</math>. Pour un contre exemple, il suffit d'imaginer une fonction qui resterait toujours en dessous de <math>\(x^3\)</math> mais qui oscillerait beaucoup en ayant des pentes très grandes, sa dérivée peut donc être aussi grande que l'on veut.

Donc soit tu fais comme propose rushia, soit tu redonnes la définition de la dérivée et

Oui le problème c'est que le fait que f admette un dl à l'ordre 3 n'implique pas que f' admette un dl à l'ordre 2. Si on savait que f' admettait un dl à l'ordre 2 on pourrait faire ce que tu as fais leoleo.

Oui je viens de voir sur wiki :

Citation : wiki

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn - 1 pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn au voisinage de x0.

Donc à chaque fois soit on repart sur le calcul du taux d’accroissement, soit on utilise les opérations usuelles sur les dérivées.

Merci,
leoleo