Bonjour,
Voila étant en MP je suis en vacance et j'aimerai me préparer aux concours et je vous propose de discuter de quelques exos pendant les vacances histoire de pas perdre la main.
N'hésiter pas les proposer du moment qu'il soit pas trop difficile et surtout qu'il nous face réviser le cour

Voila un petit pour de s'échauffer

1er énoncé type sup

Citation

Trouver des réels L tel que: <math>\(M+TM= L*M\)</math> où TM est la transposée de M.M est une matrice carré n*n.

2éme énoncé type spe:

Citation

Soit <math>\(f: M -> M+TM\)</math> où TM est la transposée de M. Trouver les éléments propres de f. M est une matrice carré n*n.

Un deuxième pour la route:
Sup:

Citation

Montrer que <math>\(exp(ix)+exp(iy)+exp(iz)=0\)</math> implique <math>\(exp(2ix)+exp(2iy)+exp(2iz)=0\)</math>

Un 3éme (la route est longue jusqu'aux concours ^^)
spe: un peu plus chaud *

Citation

Soit C l'ensemble des fonctions de classe C infini s'annulant en 0. Montrer que C est un idéal de l'ensemble des fonctions de classe C infini (facile). Montrer que cette idéal est principal (Moins cool ^^)

1 ) Il manque des hypothèses genre la matrice est symétrique/antisymétrique. Dans ce cas là (et ce sont les seuls, cf le 2) ) on a L=2 ou L=0.

2) L'espace des matrices carrées d'ordre n se décompose en 2 espaces supplémentaires : l'espace des matrices symétrique (de dimension n(n+1)/2) et celui des espaces des matrices antisymétriques (de dimension n(n-1)/2). Ces deux espaces sont des espaces propres et fournissent donc les deux types d'éléments propres de f (dont les valeurs propres sont 2 et 0).

3) pas envie

4) le fait que C est un idéal est trivial. Le fait qu'il est principal n'est pas beaucoup plus dur : il suffit de remarquer qu'il est engendré par la fonction id:x->x. En effet soit f dans C, et g définie telle que g(x) = f(x)/x pour x non nul et g(0)=f'(0). Comme f est Cinfini, on vérifie que g l'est également et on a ainsi f=id.g. Donc C=(id).

A moi : Soit f une fonction C^2 convexe sur IR admettant des limites en + et - l'infini. Montrer que f'' s'annule.

Edit :
*Un classique, mais tellement beau : soit f : [a,b]-> IR continue telle que pour tout n : <math>\(\int_a^b f(x)x^ndx = 0\)</math>. Montrer que f=0.
* un original : déterminer toutes les fonctions continues IR-> C tq <math>\(|\int f(x)dx|=\int|f(x)|dx\)</math>.

1) Aucun prob, la question de demande de trouver des reels tu la bien fait.

2) Les espaces propres que tu as trouvé sont supplémentaire dans E. Parfait.

3) J'avoue il est chiant

4) Dsl je suis pas d'accord g n'est mm pas de fini en 0. J'avoue il y a une petite astuce. id engendre bien l'ideal mais ta fonction g n'est pas bonne

Edit: J'ai mal lu ta solution dsl.

Je cherche ta question.

Citation : sebsheep

Comme f est Cinfini, on vérifie que g l'est également

C'est pas évident

On peut voir que <math>\(g(x)=\int_0^1 f'(xt) dt\)</math> pour le montrer, mais c'est franchement astucieux.

Citation : sebsheep

*Un classique, mais tellement beau : soit f : [a,b]-> IR continue telle que pour tout n : <math>\(\int_a^b f(x)x^ndx = 0\)</math>. Montrer que f=0.

Héhé il est stylé celui-là. Spoiler : utiliser le théorème de Weierstrass.

Citation : krosian

Citation : sebsheep

Comme f est Cinfini, on vérifie que g l'est également

C'est pas évident

On peut voir que <math>\(g(x)=\int_0^1 f'(xt) dt\)</math> pour le montrer, mais c'est franchement astucieux.

Oui on peut faire comme ça, c'est très joli et je n'y aurait pas pensé. On peut aussi vérifier que toutes les dérivées sont continues en 0 ce qui est suffisant par le TAF, et même si pas très agréable, ça reste automatique


PS : J'ai édit mon 1er mess en mettant d'autres questions

Quelques exercices jolis de sup

- Donner au moins deux démonstrations différentes du théorème de Wilson (<math>\((p-1)!=-1 [p]\)</math> si et seulement si p est premier, il y a donc deux implications à montrer chacune pouvant l'être de deux manières différentes). Dans ma mémoire, il me semble que l'on peut trouver 3 démos différentes, mais je n'en vois immédiatement que deux.
- Soient <math>\((x_1,x_2,...,x_{13})\)</math> treize réels quelconques. Montrer qu'il existe deux indices i et j différents vérifiant :
<math>\(\left| \frac{x_i-x_j}{1+x_i x_j} \right|\leqslant 2-\sqrt{3}\)</math>
- Soit <math>\(f\)</math> dérivable sur ]0,1] telle que <math>\(f(x)\)</math> tende vers <math>\(a\)</math> quand x tend vers 0 et <math>\(xf'(x)\)</math> tende vers b quand x tend vers 0. Que vaut b?
- Just for fun : rappeler une démonstration du théorème de Bolzano Weierstrass, puis en proposer une plus jolie, faire de même pour le théorème de Heine.

sebsheep : pour ton dernier exo, j'imagine que ce sont les fonctions <math>\(t \mapsto g(t)u\)</math> où g est une fonction continue à valeurs réelles et u un complexe.

cetheph : je connais deux démonstrations du théorème de Wilson. Une où on évalue <math>\(X^{p-1}-1\)</math> en 0 et une où on regroupe les termes dans (p-1)! pour que les inverses modulo p s'annulent. Ca m'intéresserait de connaître la troisième.

Pour la troisième question, b=0.
Sinon, on suppose par exemple b>0. Alors il existe <math>\(\eta >0\)</math> tel que <math>\(\forall x\in ]0,\eta], xf'(x) \geq b/2\)</math>, soit <math>\(f'(x) \geq \frac b {2x}\)</math>. Or cette fonction n'est pas intégrable sur <math>\(]0,\eta]\)</math> tandis que f' l'est (par existence d'une limite pour f en 0). Absurde.

Pour l'histoire de Wilson : Effectivement, c'est à ces deux méthodes que je pensais, à ceci près que je vois en le polynôme <math>\(X^{p-1}-1\)</math> les relations coefficients racines (c'est plus général) plutôt qu'un polynôme directement factorisé que l'on évalue en 0. Je ne me souviens pas pour le moment de la troisième méthode...

C'est bien b=0. Une autre méthode consiste à poser <math>\(h(x)=xf(x)\)</math> pour x>0 et h(0)=0. h est continue sur [0;1], dérivable sur ]0;1]. Sa dérivée vaut h'(x)=xf'(x)+f(x) qui tend vers a+b quand x tend vers 0. Cela montre que h est dérivable en 0, de dérivée a+b. En revenant à la définition avec les taux d'accroissements, on trouve cependant que <math>\(\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=f(x)\)</math> tend vers a quand x tend vers 0, soit a+b=a, donc le résultat voulu.

Bonsoir,

Citation : cetheph

- Soient <math>\((x_1,x_2,...,x_{13})\)</math> treize réels quelconques. Montrer qu'il existe deux indices i et j différents vérifiant :
<math>\(\left| \frac{x_i-x_j}{1+x_i x_j} \right|\leqslant 2+\sqrt{3}\)</math>
.

Pour cet exo, n'y-a-t-il pas une erreur de signe, <math>\(2-\sqrt(3)\)</math> et non <math>\(2+\sqrt(3)\)</math> ?

En effet, l'expression suggère une relation trigonométrique classique:
<math>\(tan(u-v)=\frac{tan(u)-tan(v)}{1+tan(u)tan(v)}\)</math>
Donc en posant <math>\(u_i=arctan(x_i)\)</math>, quels que soient les 13 réels donnés, les 13 <math>\(u_i\)</math> associés appartiennent à l'intervalle <math>\(]-\pi/2,+\pi/2[\)</math>.
Si on divise cet intervalle en 12 intervalles égaux à <math>\(\pi/12\)</math>, il existe au moins un couple parmi les 13 réels <math>\((u_i, u_j)\)</math> appartenant à un même intervalle de largeur <math>\(\pi/12\)</math>
On revient aux <math>\(x_i\)</math>, et donc au couple <math>\((x_i,x_j)\)</math>correspondant avec la relation indiqué ci-dessus et un calcul trigonométrique élémentaire nous donne <math>\(tan(\pi/12)=2-\sqrt(3)\)</math>, ce qui conduit au résultat...mais avec un signe - a priori .

Effectivement, je corrige.

Hello cetheph (gros geek !)

Bolzano Weierstrass : par récurrence, en découpant au milieu (flemme de rédiger).

Comment fait-on plus joliment ?

Avec des immeubles ayant vu sur la mer (comment ça personne connait ? )

Edit :

Citation

Soit <math>\((U_n)_{n\in\mathbb{N}\)</math> une suite réel bornée.
On pose <math>\(A=\{n\in\mathbb{N}\ \ \backslash{}\ \ \forall p>n,\ U_n\geq U_p \}\)</math> (c'est notre fameux ensemble qui répertorie les numéro "des immeubles ayant vu sur la mer")

Si <math>\(A\)</math> est infini, il existe une suite <math>\((\phi(p))_{p\in\mathbb{N}\)</math> strictement croissante d'éléments de <math>\(A\)</math> et la suite <math>\((U_{\phi(p)})_{p\in\mathbb{N}}\)</math> est donc décroissante minorée et converge.

Si <math>\(A\)</math> est fini, <math>\(\exists \Phi(0)\in\mathbb{N}\)</math> tel que <math>\(\forall n\in A,\ \Phi(0)>n\)</math>
Comme <math>\(\Phi(0)\notin A, \exists \Phi(1)>\Phi(0)\)</math> tel que <math>\(U_{\Phi(1)}>U_{\Phi(0)}\)</math>, de même <math>\(\Phi(1)\notin A\)</math> donc on peut trouver <math>\(\Phi(2)\)</math> ...
On construit ainsi une suite extraite croissante majorée de <math>\(U\)</math> qui donc converge.

La généralisation à <math>\(\mathbb{C}\)</math> est relativement facile.

Après, est-ce que c'est vraiment plus jolie ? Je sais pas, mais c'est ma préférée

Je trouve cette démonstration 10 fois plus élégante que la classique par dichotomie (qui utilise le théorème des segments emboîtés qui est je trouve un résultat non trivial de topologie). Pour ma part j'appelle ton ensemble A l'ensemble des "pics".

Avec cette démo, on ne se sert que du résultat classique que "tout suite bornée monotone admet une limite" qui lui même est un résultat direct de l'énoncé admis en général comme axiome de IR que toute partie majorée admet une borne sup. Bref, on sort beaucoup moins d'artillerie avec cette notion de "pic" qu'avec la notion de segments emboîtés.

Si j'ai bien compris tu démontres d'abord que de toute suite réelle tu peux extraire une suite monotone.
Je propose la démonstration suivante, à vous de voir si vous la trouvez vraiment plus jolie:

Citation : Preuve

Par l'absurde, on suppose que la suite <math>\((u_n)\)</math> concernée est à valeurs dans un intervalle [a;b].
Si <math>\(\{u_n\; n\in\mathbb{N}\}\)</math> n'admet pas de point d'accumulation, alors pour tout <math>\(x\in[a;b] \exists \eta_x>0\)</math> tel que <math>\(]x-\eta_x,x+\eta_x[\)</math> ne contient qu'un nombre fini de termes de la suite.
Or on peut écrire <math>\([a;b]\subset\bigcup\limits_{x\in [a;b]} ]x-\eta_x,x+\eta_x[\)</math> qui est un recouvrement d'ouverts. Par la propriété de Borel Lebesgue, on peut extraire un recouvrement fini, soit trouver n individus <math>\((x_1,\dots,x_n)\)</math> tels que <math>\([a;b]\subset\bigcup\limits_{i=1}^n ]x_i-\eta_x_i,x_i+\eta_x_i[\)</math>
Cela montre que <math>\([a;b]\)</math> ne contient qu'un nombre fini de termes de la suite <math>\((u_n)\)</math>, ce qui est absurde, tous les termes étant dans [a;b].

Remarques : Sebsheep me reprochera peut-être d'utiliser l'artillerie lourde de la compacité. Je trouve néanmoins cette démonstration particulièrement jolie, et généralisable.

Une démonstration analogue peut être faite pour le théorème de Heine, démontrer que [a;b] vérifie la propriété de Borel Lebesgue (i.e., de tout recouvrement d'ouvert, on peut en extraire un recouvrement fini) est laissé au lecteur (qui remarquera que cela résulte encore de la propriété de la borne sup) en exercice

@Maxima : Gros geek toi-même :=/

Citation : cetheph

Remarques : Sebsheep me reprochera peut-être d'utiliser l'artillerie lourde de la compacité. Je trouve néanmoins cette démonstration particulièrement jolie, et généralisable.

Tu m'ôtes les mots de la bouche ! Toutes les autres démo qui ont été proposées restent élémentaires, montrer la propriété de Borel Lebesgue est assez technique (c'est pas le genre de chose qu'on a envie de faire tous les matins en se levant :p)

Au passage, sebsheep ne prend pas de majuscule ... j'y tiens !

Edit : même si effectivement, c'est très joli et très propre, comme toutes les preuves utilisant ce critère :p.

On peut aussi démontrer le théorème de Wilson en étudiant les p-Sylow de <math>\(\mathfrak{S}_{p}\)</math>.

On a <math>\((p-1)!\)</math> éléments d'ordre p dans <math>\(\mathfrak{S}_{p}\)</math>. En effet, <math>\(p\)</math> étant premier, un élément d'ordre <math>\(p\)</math> est un p-cycle, et il y en a <math>\((p-1)!\)</math> (on peut prendre n'importe quel élément en premier, seul l'ordre des <math>\(p-1\)</math> suivants importe).
Les p-Sylow de <math>\(\mathfrak{S}_{p}\)</math> sont de cardinal <math>\(p\)</math> et contiennent donc l'identité et <math>\(p-1\)</math> p-cycles. De plus, chaque p-cycle est dans un p-Sylow (celui engendré par le p-cycle). On a ainsi <math>\(\frac{(p-1)!}{p-1} = (p-2)!\)</math> p-Sylow dans <math>\(\mathfrak{S}_{p}\)</math>.
Le théorème de Sylow assure alors que <math>\((p-2)! \equiv 1 [p]\)</math> d'où le théorème de Wilson en multipliant par <math>\(p-1\)</math>.

Citation : rushia

Avec des immeubles ayant vu sur la mer (comment ça personne connait ? )

Si ! Mon prof de maths de spé m'avait sorti exactement cette phrase quand on avait démontré BW.