Bonjour à tous, j'aimerai qu'on m'explique certaines choses à propos de la fonction de Dirac.Notamment au niveau de l'intégrale.La fonction de Dirac à la base c'est la limite d'une fonction de Heaviside.Mais pourquoi lorsqu'on calcule l'intégrale on prend pas en compte le paramètre limite ? Et puis quelles sont les réelles propriétés de cette fonction.
exemple: Pourquoi int(cos(x^2)*Dirac(x-3),x=-4..4)=cos(9) et int(cos(x^2)*Dirac(x-3),x=-3..3)=(1*2)*cos(9)
ou encore pourquoi int(cos(x^2)*Dirac(x+5),x=-4..4)=0 et pas cos(25) ?
Ici int représente l'intégrale et Dirac une fonction Dirac.
Merci de m'aider.

C'est pas une question simple que tu poses là.
Les physiciens aimeraient que la fonction dirac soit la limite d'une fonction type fenêtre (pas de Heaviside au passage, le dirac est plutôt la dérivée d'un Heaviside, au sens des distributions au moins), d'intégrale 1, mais dont "la base" tendrait vers 0, mais une telle limite est impossible avec tous les modes de convergences de suite de fonctions (que je connaisse).
Pour avoir une définition "rigoureuse" du dirac, il faut regarder du côté des distributions.

Salut,

Alors déjà c'est un abus de langage de parler de "fonction de Dirac" car ce n'est pas une fonction au sens usuel du terme mais une distribution.

Une fonction réelle usuelle c'est quelque chose qui transforme un nombre en un autre nombre. Par exemple <math>\(f: x\mapsto x^2+\cos(x)\)</math> à chaque nombre <math>\(x\)</math> on fait correspondre un autre nombre <math>\(f(x)\)</math>.

Une distribution c'est un peu plus subtil. Dans certains contextes, les mathématiciens se sont rendus compte qu'il était plus judicieux de définir une fonction non pas en associant à chaque nombre un autre nombre mais en donnant la valeur de l'intégrale de la fonction sur un ensemble. En d'autre terme, une distribution c'est grosso modo quelque chose qui à un intervalle donné associe une valeur numérique qui est la valeur de son intégrale sur cet intervalle.

Le grand intéret de ça c'est qu'on découvre de nouveau objets qui ne sont pas des fonctions mais que l'on peut définir comme distribution. La distribution de Dirac, c'est une distribution dont l'intégrale est égale à 1 si l'ensemble sur lequel on intègre contient 0 et qui vaut 0 sinon. En d'autres termes, on peut considérer qu'il y a une surface égale à 1 concentrée uniquement en <math>\(x=0\)</math>.

Ce genre de chose est bien entendu impossible avec des fonctions normales.

Pour reprendre tes exemples, la valeur de tes intégrales est tout simplement égale à la valeur du cosinus par lequel on multiplie le dirac au moment ou ce dirac passe en 0. (en 3 dans tes deux premiers exemples)
Ton troisième exemple vaut 0 parce que tu intègre entre -4 et 4 et que la masse de ton dirac est concentrée en -5. Ta distribution est donc nulle là ou tu intègres.

La fonction de Dirac c'est encore plus précisément la distribution (qui n'a strictement rien à voir avec quoi que ce soit d'intégration) :
<math>\(\delta_{0} : \phi\in{C^{\infty}_{c}} \mapsto \phi(0)\)</math>.

C'est une forme linéaire sur l'espace des fonctions infiniment dérivables à support compact (et continue mais ça s'est une autre histoire ); ce qui est exactement la définiction d'une distribution. Cela consiste non plus à voir une fonction comme une machine qui prend une entrée et une sortie, mais comme un opérateur agissant sur des fonctions sympathiques (en l'occurence <math>\(C^{\infty}_{c}\)</math>). L'action permet ensuite de retrouver des informations et les propriétés voulues (parfois).

Il est difficile d'en donner des résultats ou des propriétés pertinentes sans un petit bagage distributionnel, mais la principale propriété et celle bien connue : à une fonction elle attribue sa valeur en 0.

Merci à vous tous,je viens de comprendre certaines choses. Toutefois j'ai du mal à trouver des cours qui parlent de cette fonction mais merci à vous

Bonsoir,
@testpakipeut

Citation

Toutefois j'ai du mal à trouver des cours qui parlent de cette fonction mais merci à vous

A toutes fins utiles, je signale deux bons ouvrages que je possède sur le sujet d'un niveau accessible pour Bac+2 et plus . Si on a un objectif trés pratique, je recommande le premier.

- Distributions et Applications
Outils pour l'ingénieur
edition Ellipse
G. Demengel

Excellent pour un apprentissage pratique si on ne recherche pas toutes les démonstrations, parfois usant de notion d'analyse avancée pour une totale rigueur, de certaines propriétés.
Trés nombreux exercices et problèmes corrigés ( trés en détails) plus complets en liaison avec des applications de la physique, en particulier traitement du signal.
Distributions de Dirac, peignes de Dirac... y sont traités en long et en large dans ces problèmes concrets.

Mathématiques pour la physique
Tome 2 ( d'une série compléte de 3 tomes excellente pour des maths assez avancés pour physiciens )
Séries et transformations de de Fourier et de Laplace
Distributions

Editions Eyrolles
par Pierrette Benoist-Gueutal, Maurice Courbage
Mathématiquement plus avancé que le précédent.

La plupart des démonstrations difficiles ne sont pas passées sous silence. (.. mais il faut avoir des notions d'analyse plutôt mini niveau L3). Nombreux exercices corrigés mais à but moins "utilitaires" que l'ouvrage précédent)
reste quand même plus accessible que le cours de Laurent Schwartz.

Une autre référence (celle qui m'a presque tout appris) que je trouve bien :
Éléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles de Zuily.

Par contre c'est niveau Master il faut avoir de solides notions de licence.