Bonjour, je fais acteuelemnt un TPE sur la vision par ordinateur et une notion sur Sobel m'échappe:

J'ai compris qu'en vision par ordinateur on va multiplier la valeur du pixel et les huit valeurs autour par son équivalents sur la matrice de convolution horizontal puis verticale ou on obtient la valeur du gradient horizontal et vertical de ce pixel (gx et gy) mais je ne comprend pas comment on peut visualiser ce gradient (qui est un vecteur non?)donc on devrait avoir sa norme et sa direction?

Autre chose que je ne comprend pas la formule qu'on utilise à la fin est <math>\(I= \sqrt(GX\textsuperscript{2}+Gy\textsuperscript{2})\)</math> qui corespond à la formule de calcul de la norme. Donc à quoi sers cette formule.

Merci d'avance de vos explications.

Si <math>\(\mathbf{I}\)</math> est la matrice des intensités de ton image, les gradients horizontal et vertical de Sobel sont définis comme :

<math>\(\mathbf{G_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{I}\quad \mbox{et} \quad \mathbf{G_y} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 \\-1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{I}\)</math>

où <math>\(*\)</math> est le signe de convolution.

<math>\(\mathbf{G_x}\)</math> et <math>\(\mathbf{G_y}\)</math> sont donc des matrices dont les éléments sont les projections du gradient selon une certaine direction (x ou y) aux différents points de l'image. Leurs éléments ont donc une valeur élevée lorsque l'intensité des pixels change rapidement selon la direction choisie (gradient > 0 si augmentation ; gradient < 0 si diminution).

Comme le but du filtre de Sobel est de trouver les contours dans une image (donc pas seulement selon une direction particulière, mais selon une direction quelconque) et que d'autre part le signe du gradient ne nous intéresse pas (on ne s'intéresse qu'aux variations d'intensité, mais pas spécifiquement aux augmentations ou aux diminutions), on prend la norme du gradient en chaque point de l'image. Par Pythagore, cette norme (toujours positive) vaut <math>\(\mathbf{G} = \sqrt{\mathbf{G_x}^2+\mathbf{G_y}^2}\)</math>.

Merci de votre aide,
juste pour vérifier: c'est comme si pour chaque pixel on à un vecteur (le gradient) de coordonnés Gx et Gy? et ca veut donc dire que la norme est égal à la valeur du pixel.

Autre chose, si on à une image de 3x3 pixels et qu'on veut la norme d'un pixel on multiplie de la façon suivante:
Gx(I(2;2))=(I(1;1)×-1))+(I(2;1)×0)+(I(3;1)×1)+(I(1;2)×-2)+(I(2;2)×0)+(I(3;2)×2)+(I(1;3)×-1)+(I(2;3)×0)+ (I(3;3)×1)

c'est bien ça?

Et dernière question j'ai matlab au lycée est ce que je peus faire les calculs directement sans la toolbox vision par ordi ou ca ne vas pas marcher.

Merci d'avance de votre aide.

Citation : 13ansetpassioné

juste pour vérifier: c'est comme si pour chaque pixel on à un vecteur (le gradient) de coordonnés Gx et Gy?

Oui, c'est bien ça. En fait, le gradient est un champ de vecteurs, c'est à dire qu'il y a un vecteur différent pour chaque coordonnées x et y.

Citation

et ca veut donc dire que la norme est égal à la valeur du pixel.

Disons plutôt que la valeur d'un pixel, c'est son intensité. La norme du gradient, c'est le taux de variation de cette intensité.

Citation

Autre chose, si on à une image de 3x3 pixels et qu'on veut la norme d'un pixel on multiplie de la façon suivante:
Gx(I(2;2))=(I(1;1)×-1))+(I(2;1)×0)+(I(3;1)×1)+(I(1;2)×-2)+(I(2;2)×0)+(I(3;2)×2)+(I(1;3)×-1)+(I(2;3)×0)+ (I(3;3)×1)

c'est bien ça?

Oui, sauf que tu as inversé les indices des lignes et des colonnes :

<math>\(\mathbf{G_x} =\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1\end{bmatrix}*~~\mathbf{I} = \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}I_{1,1} & I_{1,2} & I_{1,3} \\I_{2,1} & I_{2,2} & I_{2,3} \\I_{3,1} & I_{3,2} & I_{3,3}\end{bmatrix}\)</math>

<math>\(= (1\cdot I_{1,3} + 0\cdot I_{1,2} -1\cdot I_{1,1}) + (2\cdot I_{2,3} + 0\cdot I_{2,2} -2\cdot I_{2,1}) + (1\cdot I_{3,3} + 0\cdot I_{3,2} -1\cdot I_{3,1})\)</math>

<math>\(= I_{1,3} - I_{1,1} + 2 I_{2,3} - 2 I_{2,1} + I_{3,3} - I_{3,1}\)</math>

Citation

Et dernière question j'ai matlab au lycée est ce que je peus faire les calculs directement sans la toolbox vision par ordi ou ca ne vas pas marcher.

Oui, tu n'as pas du tout besoin d'une toolbox pour faire ce genre de calculs. Sous Matlab, il y a la fonction conv2.


P.S.: Pour afficher les calculs sur ce forum, utilise plutôt LaTeX avec la balise <math> ; ce sera plus lisible.

Merci de ton aide
On peut donc dire qu'il faut renverser la matrice sur l'axe x pour convoluer?
Pour la fonction conv2 je vais regarder demain.

Encore merci de ton aide je vais pouvoir expliquer Sobel dans le dossier.

Petite question/remarque : quand vous écrivez <math>\(G = \sqrt{G_x^2 + G_y^2}\)</math>, qu'est-ce que ça veut dire ? Les opérations sont effectuées terme à terme dans les matrices ?

(@13ans&passioné : tu n'as peut-être jamais manipulé de matrices, mais "multiplier des matrices" sans plus de précisions est en général interprété complètement différemment de la multiplication terme à terme(cf wiki ou nimporte quoi). Quant à la racine carré de matrices, c'est encore pire... J'ai buggé sur l'expression et cela peut susciter le même genre de réactions chez les profs qui vont t'évaluer ; il faut que tu sois au courant des notations "habituelles" pour dire "hey les mecs, faîtes gaffe, c'est pas la multiplication de d'habitude !")

Citation

On peut donc dire qu'il faut renverser la matrice sur l'axe x pour convoluer?

Je ne comprends pas la question ... Pour convoler des matrices (c'est bizare, je ne trouve de vraiment super pertinent sur le net qui explique ça bien en profondeur), j'ai trouvé ce lien : http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q= [...] a_W-VI7ESsk_g où page 2 et 3 t'as un exemple qui te permet de comprendre comment ça marche.

Je pense que c'est terme à terme en effet (c'est d'ailleurs précisé par Me Capello) ^^.
Après, faire des calculs terme à terme avec matlab se faire très naturellement en utilisant le même type de notation, ce qui a pu conduire à ce type d'écriture.

Citation : 13ansetpassioné

On peut donc dire qu'il faut renverser la matrice sur l'axe x pour convoluer?

En fait, il faut la renverser sur les deux axes, mais comme elle est symétrique verticalement, cela ne se voit pas.

Pour mémoire, la convolution de deux fonctions se calcule ainsi :

<math>\((f*g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\cdot g(x-t)\,\mathrm{d}t\)</math>

Et en 2D :

<math>\((f*g)(x,y) = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(s,t)\cdot g(x-s,y-t)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\)</math>

On définit donc la convolution de deux matrices de taille m×n comme suit :

<math>\(\mathbf{A} * \mathbf{B} = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n A_{i,j}\cdot B_{m-i+1,~n-j+1}\)</math>

Citation : sebsheep

Petite question/remarque : quand vous écrivez <math>\(G = \sqrt{G_x^2 + G_y^2}\)</math>, qu'est-ce que ça veut dire ? Les opérations sont effectuées terme à terme dans les matrices ?

Euh, oui… C'est vrai que cela prête à confusion , mais ce sont bien des opérations faites élément par élément. C'est donc juste un raccourci pour dire :

<math>\(G_{i,j} = \sqrt{G_x_{i,j}^2 + G_y_{i,j}^2} \quad \forall (i,j)\)</math>

Merci, pour le <math>\(G= \sqrt (Gx*Gx+Gy*Gy)\)</math> j'avais compris que c'était pour un pixel.
Par contre quand dans ton developement içi:

Citation : Me Capello

<math>\(\mathbf{G_x} =\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1\end{bmatrix}*~~\mathbf{I} = \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}I_{1,1} & I_{1,2} & I_{1,3} \\I_{2,1} & I_{2,2} & I_{2,3} \\I_{3,1} & I_{3,2} & I_{3,3}\end{bmatrix}\)</math>

<math>\(= (1\cdot I_{1,3} + 0\cdot I_{1,2} -1\cdot I_{1,1}) + (2\cdot I_{2,3} + 0\cdot I_{2,2} -2\cdot I_{2,1}) + (1\cdot I_{3,3} + 0\cdot I_{3,2} -1\cdot I_{3,1})\)</math>

<math>\(= I_{1,3} - I_{1,1} + 2 I_{2,3} - 2 I_{2,1} + I_{3,3} - I_{3,1}\)</math>

les . que tu met, se sont bien des multiplications? C'est l'ensemble du calcul qui serait égal à:

Citation : Me Capello

<math>\(\mathbf{A} * \mathbf{B} = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n A_{i,j}\cdot B_{m-i+1,~n-j+1}\)</math>

@Sebsheet tu a raison il faut que je fasse gaffe à bien détailler que c'est pour un pixel et que sa correspond à la norme à l'intensité du pixel.
Encore merci de votre aide je vais pouvoir écrire la partie du dossier demain.

Oui, les « · » sont des multiplications.

Bonjour,
je viens de me rendre compte que ta formule ci dessous ne prend pas en compte les pixels adjacents c'est normal ou c'est parsque c'est la définition classique de matrice de conv?

Citation : Me Capello

On définit donc la convolution de deux matrices de taille m×n comme suit :

<math>\(\mathbf{A} * \mathbf{B} = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n A_{i,j}\cdot B_{m-i+1,~n-j+1}\)</math>


<math>\(G_{i,j} = \sqrt{G_x{i,j}^2 + G_y{i,j}^2} \quad \forall (i,j)\)</math>

Donc comment peu t'on définir ce calcul qui prend en compte les 8 pixels autour plus simplement que développé.
<math>\(G_x{i,j}= I({i,j}) \cdot 0 + I({i+1,j+1})\cdot -1 + I({i-1,j-1})\cdot-1 + I({i,j-1}) \cdot 0 + I({i+1,j-1}) \cdot-1 + I({i+1,j}) \cdot -2 + I({i-1,j}) \cdot 2 + I({i-1,j+1}) \cdot 1 + I({i,j-1}) \cdot0\)</math>


EDIT: est ce que vous pourriez me donner des infos ou des mot clef pour chercher pourquoi on utilise cette matrice de Sobel et de Prewitt et pourquoi ces valeurs dans la matrice?

Merci d'avance de votre aide

Mais si, elle prend bien les pixels adjacents.

Dans ton exemple, m = n = 3 et donc :

<math>\(\mathbf{S_{3\times3}} * \mathbf{I_{3\times3}} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 S_{i,j}\cdot I_{4-i,~4-j}\)</math>

<math>\(= S_{1,1}\cdot I_{3,3} + S_{1,2}\cdot I_{3,2} + S_{1,3}\cdot I_{3,1}\)</math>
<math>\(+ S_{2,1}\cdot I_{2,3} + S_{2,2}\cdot I_{2,2} + S_{2,3}\cdot I_{2,1}\)</math>
<math>\(+ S_{3,1}\cdot I_{1,3} + S_{3,2}\cdot I_{1,2} + S_{3,3}\cdot I_{1,1}\)</math>

ok,:euh: , j'avais compris que cette formule donnait l'ensemble de la matrice, au moins j'aurai développé une fois cette expresion manuellement :).
Pour mon autre question (dans l'edit), sur l'origine de la matrice et de ses valeurs, quelqun aurait une idée.

Encore merci de ton aide.

EDIT: désolé mais quelque chose me tracasse quand tu développe ton calcul sa donne la valeur d'un pixel par exemple avec G=I*N avec N noyau de convolution et I l'image et pour avoir la valeur du pixel G(2;2):

<math>\(G(2;2)= S_{1,1}\cdot I_{3,3} + S_{1,2}\cdot I_{3,2} + S_{1,3}\cdot I_{3,1}\)</math>
<math>\(+ S_{2,1}\cdot I_{2,3} + S_{2,2}\cdot I_{2,2} + S_{2,3}\cdot I_{2,1}\)</math>
<math>\(+ S_{3,1}\cdot I_{1,3} + S_{3,2}\cdot I_{1,2} + S_{3,3}\cdot I_{1,1}\)</math>
Mais comment fait on lorsqu'on veut G(1;1) avec ta formule, car elle ne prend pas en compte la valeur x;y?

Je sais pas si je m'explique bien mais je ne comprend pas comment la formule avec le signe somme fonctionne lorsqu'on change la valeur x;y?

Existe t'il une formule universelle pour la convolution ou on est plus qu'a modifier x et y et on à le calcul à faire?
Si ca n'existe pas, existe t'il une formulation?


Merci d'avance

Up please

La formule générale pour n'importe quel point (i,j) est donnée par :

<math>\(\mathbf{G_{i,j}} = \sum_{i'=1}^3\sum_{j'=1}^3 S_{i',j'}\cdot I_{i-i'+2,~j-j'+2}\)</math>

Et pour les « pixels » autour du bord de l'image (c'est-à-dire (i,j) hors de la matrice : i<1, j<1, i>m ou j>n), on prend le pixel de la matrice qui est le plus proche. En d'autres termes :

<math>\(I_{i,j} = I_{i',j'} \text{ avec } i'=\min(\max(i,1),m),~j' = \min(\max(j,1),n)} \quad\forall (i,j)\in\mathbb{Z}^2\)</math>

Quant au pourquoi des valeurs du noyau de Sobel, c'est assez simple : comme on veut le gradient, on cherche à calculer la dérivée partielle pour chaque direction. Or la dérivée d'une fonction discrète (unidimensionnelle) <math>\(Z_i\)</math> au point <math>\(i\)</math> est proportionnelle à <math>\(Z_{i+1}-Z_{i-1}\)</math>. Les matrices noyau pour le calcul de la dérivée selon x et y sont donc données par :

<math>\(\mathbf{D_x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\quad\mathrm{et}\quad\mathbf{D_y} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\)</math>

Mais comme l'image est sans doute un peu bruitée, plutôt que de prendre la dérivée uniquement au pixel (i,j), on se dit que ce serait bien de lisser un peu tout ça et donc de faire une moyenne de la dérivée au pixel (i,j) avec celle des 2 pixels qui sont juste au-dessus et au-dessous pour <math>\(x\)</math> (les pixels (i-1,j) et (i+1,j)), et juste à gauche et à droite pour <math>\(y\)</math> (les pixels (i,j-1) et (i,j+1)), ce qui donne les noyaux suivants (Prewitt) :

<math>\(\mathbf{P_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\quad\mathrm{et}\quad\mathbf{P_y} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \\-1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\)</math>

Toutefois, pour donner quand même une plus grande pondération à la dérivée au pixel « central » (i,j), on peut aussi utiliser les noyaux de Sobel et donner 2 fois plus de poids au pixel central :

<math>\(\mathbf{S_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\2 & 0 & -2 \\1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\quad\mathrm{et}\quad\mathbf{S_y} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 \\-1 & -2 & -1 \end{bmatrix}\)</math>

Ok, j'avais pas du tout compris ça pour l'histoire des dérivées.

Encore merci de ton aide ça m'a beaucoup m'aider.

N'oublie pas de faire figurer Me Capello dans les remerciements de ton TPE !

Je comptais le faire avec une jolie partie remerciement pour lui et pour les autres qui m'ont aidé dans ce post et dans les autres. Comme @Me Capello @Bvic @Christophe G @Lanfeust 313 @j'en ai surement oublié...

Encore merci à toute la communauté du sdz: Vous êtes vraiment d'une grande aide.