Bonsoir tout le monde !

Je suis tombé tout à l'heure sur une petite équation qui m'a posé problème et je n'ai pas trouvé de solution sur la toile.

Je cherche à résoudre les équations de la forme <math>\(ax + ln(bx) + c = 0\)</math>
Il découle tout de suite <math>\(ax + lnx = -lnb-c\)</math>, mais comment faire ensuite ?

D'avance merci.

A moins que a=0 (bref un cas trivial), tu ne peux pas aller plus loin dans la résolution algébrique (à moins d'introduire une fonction W tq W(y) est la solution de xe^x=y, ou équivalent). Tout ce que tu peux faire, c'est déterminer s'il existe ou pas des solutions à cette équation grâce au théorème des valeurs intermédiaires.

Arf, d'accord !
Je suis un peu déçu quand même.

Merci beaucoup.

Bonsoir !

J'ai un nouveau petit problème.

Je cherche à résoudre l'équation <math>\(\frac{e^x-1}{x}=e\)</math>
Je ne comprends pas car je trouve une solution et j'ai beau retourner dans tous les sens impossible de trouver autre chose ni d'erreur apparente.

En effet, <math>\(\frac{e^x-1}{x}=e \Leftrightarrow e^x-1=ex \Leftrightarrow e^x=ex+1 \Leftrightarrow x=ln(ex+1)\)</math>
En dérivant, on a <math>\(1 = \frac{e}{ex+1}\)</math> (sauf erreur de ma part)
<math>\(\Leftrightarrow ex+1=e\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow x=\frac{e-1}{e}\)</math>

Sauf que <math>\(\frac{e^{\frac{e-1}{e}}-1}{\frac{e-1}{e}}=1,39\)</math>... On est très loin de 2,71 !

Ou est mon erreur s'il vous plait ?

L'erreur a lieu au moment où tu dérives la relation <math>\(x=\ln(ex+1)\)</math>. En effet, cette relation ne signifie pas que la fonction <math>\(x\mapsto x\)</math> est égale à la fonction <math>\(x\mapsto \ln(ex+1)\)</math> mais que l'égalité peut être réalisée pour des valeurs particulières de x, dériver n'a donc aucun sens ici, c'est comme si tu dérivais <math>\(x=5\)</math> ou <math>\(x=3x+2\)</math>.

Certes, merci, on m'avait pourtant dit le contraire !
Alors quelle manière préconises-tu pour arriver au bon résultat ?

Je sais pas ^^.
Il y a (au moins) une solution entre 1, pour lequel le terme de gauche vaut e-1<e, et l'infinie pour lequel il temps vers l'infini, mais je ne vois pas de moyen simple de la trouver (j'ai pas beaucoup cherché non plus)

Édit : wolfram|alpha semble faire encore une fois intervenir la fonction décrite par sebsheep.

Oui la solution est approximativement 1,8 (graphiquement).

Ce qui est marrant (une grosse coïncidence) c'est que <math>\(2\times \frac{e-1}{e}\)</math> est vraiment très proche de <math>\(e\)</math> (un truc dans le genre 2,77).

Quand est-ce qu'on utilise la dérivée pour trouver une solution alors exactement ?

Edit : rien dit.

il faut surtout comprendre que toutes les équations ne se résolvent pas de manière explicite, par contre, on peut utiliser les dérivés, pour la méthode de newton pour obtenir des approximations.

Je n'apporte pas d'eau au Moulin, juste une autre façon de voir ce que disait Rushia quant à ton erreur. Trouver la valeur de x telle que <math>\(x = \ln(ex +1)\)</math> revient, graphiquement, à chercher le (ou les) point(s) éventuels où les courbes représentant <math>\(f(x) = x\)</math> et <math>\(g(x) = \ln(ex +1)\)</math> se coupent. Si tu essaies de visualiser ces courbes, tu vois que celle de f est une droite quand celle de g est de type "logarithmique".

Supposons qu'en dérivant nous ayons <math>\(1 = {e\over{ex +1}}\)</math>, comme tu l'écrivais. Cela signifierait que, non seulement les courbes se couperaient en un ou plusieurs points, mais qu'à chaque intersection, elles auraient la même pente, la même inclinaison, qu'elles croîtraient de la même façon. Or, cela est rarement le cas ; cela n'est possible que si la courbe de f est seulement tangente à la courbe de g. Tu vois alors bien que cela ne peut être qu'un cas particulier : l'égalité de deux expressions n'implique donc pas l'égalité des expressions dérivées.

Autre façon de se convaincre, prenons l'équation (déjà résolue) <math>\(x = 1\)</math>. Si ta propriété était vraie, alors en dérivant nous obtiendrions <math>\(1 = 0\)</math>. Ce qui est une absurdité.

Merci beaucoup pour cet éclaircissement !

J'avais en effet remarqué (grâce à l'exemple de rushia) que cela menait à une absurdité.
C'est toujours cool d'avoir des explications simples, concises et claires comme vous autres savez si bien le faire !

Merci beaucoup.