Bonjour j'ai un petit probleme pour un exercice qui porte sur les exposants..:

je dois trouver la valeur exact sans calculatrice :<math>\(1+2+4+8+16+...+2^3^0^0\)</math> <= Help

Merci

Tu ne connaitrais pas une formule donnant la valeur de la somme des premiers termes d'une serie suite géométrique ?

Je ne crois pas

Eh bien, si <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> est une suite géométrique de raison q, alors la somme de ses termes vaut :

• si <math>\(q \neq 1\)</math>, <math>\(S=U_0 \frac{1-q^N}{1-q}\)</math> où <math>\(U_0\)</math> est le premier terme de la suite et N le nombre de termes dans la somme considérée
• si <math>\(q=1\)</math>, <math>\(S=N\)</math> où N est toujours le nombre de termes de la somme considérée

Il ne te reste plus qu'à déterminer la raison de la suite, ce qui ne devrait pas être trop difficile...

Peut-tu faire plus simple, je n'ai pas trop compris..

Ca peut se voir "à la main". Si tu es en seconde, effectivemenet, tu n'as jamais entendu parlé de suite. Mais c'est pas grave.

Essaie de calculer 1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8... Ne peux tu pas deviner une formule ?

Une suite <math>\(U\)</math> est géométrique de raison <math>\(q\)</math> si pour tout <math>\(n\geq0\)</math> on a <math>\(U_{n+1}=q\times U_n\)</math>

Ce que dit Gr3n@d1n3, c'est que si on a une telle suite avec <math>\(q\neq1\)</math>, alors :
<math>\(U_0+U_1+U_2+...+U_N=U_0\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\)</math>

Je suis effectivement en seconde et l'histoire des suites je n'arrive pas a comprendre :/.

Une formule ? Je vois juste que je pourrait remplacer ces chiffres par : <math>\(2^0 + 2^1 + 2^2 +2^3 Etc..\)</math> ??
Mais pour le 2^300 ??

Effectivement, si tu n'as jamais vu les suites, tu risques pas de comprendre de quoi on parle et de toute façon, ça ne serait sûrement pas la méthode que ton professeur attend.

Vous voyez quoi en cours en ce moment ?
Et est-ce que vous avez déjà vu le raisonnement par récurrence ?

En ce moment c'est les puissances ( révisions ) Heum, non ca ne me dit rien..

EDIT: Dans le cours j'ai retrouver : <math>\(2^n = 2^n^+^1-2^n\)</math>
Ca peut petetre aider..

Oui, je pense qu'il faut que tu appliques ça a chaque terme de ta somme, ça va se simplifier :
<math>\(2^0=2^1-2^0,\ 2^1=2^2-2^1,\ 2^2=2^3-2^2,\ ...,\ 2^{300}=2^{301}-2^{300}\)</math>

Donc le resultat serait <math>\(2^1\)</math> ?

Non, réécrit la somme en changeant chaque terme par la formule.

Oui mais : <math>\(1+2+4+8+16+...+2^3^0^0\)</math>

Comment je fais quand j'arrive au "+..." ? :/

Pour le moment tu laisses +...+, tu devrais quand même voir la façon dont ça se simplifie en cascade. Ça reste peu rigoureux, mais c'est vraiment le mieux que tu puisses faire sans écrire les 301 termes ou utiliser le symbole <math>\(\sum\)</math>.

En cascade ? COmprend pas ce signe ..

C'est pas vraiment une expression officielle, mais on parle de simplification en cascade quand chaque terme annule ou se fait annuler par le terme suivant.

Par exemple, ici, on a :
<math>\(2^0+2^1+2^2+...+2^{299}+2^{300}=(2^1-2^0)+(2^2-2^1)+(2^3-2^2)+...+(2^{300}-2^{299})+(2^{301}-2^{300})\)</math>
et la on voit que le <math>\(2^1\)</math> de la première parenthèse s'annule avec le <math>\(2^1\)</math> de la seconde parenthèse. De même, le <math>\(2^2\)</math> de la seconde parenthèse s'annule avec le <math>\(2^2\)</math> de la troisième et ainsi de suite, en cascade, un effet domino en quelque sorte (le <math>\(2^3\)</math> s'annule avec un <math>\(2^3\)</math> qui se trouve dans les ...)
Au final, il ne reste que le premier et le dernier terme, c'est a dire ici <math>\(-2^0\)</math> et <math>\(2^{301}\)</math> : <math>\(2^0+2^1+2^2+...+2^{299}+2^{300}=2^{301}-2^0=2^{301}-1\)</math>


Pour le signe <math>\(\sum\)</math>, c'est normal que tu n'en aies jamais entendu parlé, même si c'est dommage qu'on en parle pas plus tôt dans le système scolaire actuel (ça et les quantificateurs)

Bonjour,

Je vais essayer de faire avancer quelque peu le sujet mais ce n'est pas très facile d'expliquer cela simplement à quelqu'un ne possédant que des connaissances de Seconde.


Comme exemple, je vais prendre la somme <math>\(2^{0} + 2^{1} + ... + 2^{9} + 2^{10}\)</math> (aussi notée <math>\(\sum_{i = 0}^{10}2^{i}\)</math>).


Si tu pars de la droite, et grâce à la formule triviale <math>\(2^{n} = 2^{n+1} - 2^{n}\)</math>, tu peux établir que <math>\(2^{10} = 2^{11} - 2^{10}\)</math> et que <math>\(2^{9} = 2^{10} - 2^{9}\)</math>.

En faisant la somme des deux, tu obtiens <math>\(2^{9} + 2^{10} = 2^{10} - 2^{9} + 2^{11} - 2^{10} = 2^{11} - 2^{9}\)</math>.

On remarque que le <math>\(2^{10}\)</math> que l'on soustrayait d'un coté a annulé celui que l'on ajoutait de l'autre.

C'est ce dont rushia t'a parlé sous le nom de "simplification en cascade".


Si l'on ajoute maintenant à cette somme <math>\(2^{8} = 2^{9} - 2^{8}\)</math> on obtient <math>\(2^{8} + 2^{9} + 2^{10} = 2^{9} - 2^{8} + 2^{11} - 2^{9} = 2^{11} - 2^{8}\)</math>.

Cette fois-ci, c'est le <math>\(- 2^{9}\)</math> présent dans la première somme qui a été annulé par le <math>\(+ 2^{9}\)</math> contenu dans <math>\(2^{8} = 2^{9} - 2^{8}\)</math>.


Si tu continues le raisonnement, tu atteindra l'expression finale <math>\(2^{0} + 2^{1} + ... + 2^{9} + 2^{10} = 2^{11} - 2^{0} = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047\)</math>.

Le résultat final importe peu mais le raisonnement peut être résumé en une formule plus générale :
<math>\(2^{0} + 2^{1} + ... + 2^{max - 1} + 2 ^{max} = 2^{max + 1} - 1\)</math> (aussi notée <math>\(\sum_{i = 0}^{max}2^{i} = 2^{max + 1} - 1\)</math>), qui est elle même généralisable en <math>\(\sum_{i = min}^{max}2^{i} = 2^{max + 1} - 2^{min}\)</math>.


Cette formule peut être appliquée à ton énoncé, <math>\(max\)</math> prend alors la valeur <math>\(300\)</math> ce qui nous donne <math>\(2^{0} + 2^{1} + ... + 2^{299} + 2^{300} = 2^{300 + 1} - 1 = 2^{301} - 1\)</math>.

<math>\(2^{301} - 1\)</math> est la valeur exacte demandée par ton professeur, ce n'est pas la peine de l'écrire sous une quelconque autre forme.


Cordialement, en espérant que tout le temps passé sur ce post t'aide à comprendre ce que j'ai laborieusement tenté d'expliquer.


PS à moitié HS : Je suis bien d'accord avec tois rushia, l'introduction plus si tardive des symboles <math>\(\sum\)</math>, <math>\(\forall\)</math> et <math>\(\exists\)</math> est regrettable à la vue de leure grande utilité.