Bonjour, j'ai une question qui me turlupine: Est-ce qu'avec le graphique d'une fonction quelconque, on peut déterminer sa formule mathématique ?

Merci d'avance de votre réponse...

salut, oui c'est possible.

Je dirais que non, mais tu peux l'approximer par un polynôme. Si tu connais N points de la courbe, tu peux l'approximer par un polynome de degré N-1. C'est ce qu'on appelle l'interpolation.
Tu peux regarder ce post pour plus de détails.

edit : message inutile ( on ne peux plus les supprimé ? )

Tout dépend de ce que tu appelles graphe :
si pour toi le graphe c'est de dessin approximatif de la courbe, alors non vu qu'il existe plusieurs fonctions qui conviendront vu que ton dessin n'est pas assez précis (épaisseur du trais etc.)
si pour toi le graphe c'est la donnée des points qui sont sur ta courbe (x, f(x)), alors c'est que ta fonction est entièrement déterminé par cette donnée, (à condition d'avoir l'ensemble de départ et d'arrivée). Alors dans ce cas oui tu as f, mais f n'a pas forcément une expression, dans le sens où il est possible que tu ne puisses par écrire f avec des fonctions de référence (fonctions rationnels, exponentielles, logarithmique, fonctions trigo), car beaucoup de fonctions de sont pas de cette forme.

Non, on ne peut pas parceque la fonction peut ne pas correspondre à une formule. Par contre si tu sais que ta fonction appartient à une certaine classe restreinte (les polynômes par exemples) alors tu peux utiliser des méthodes d'interpolation pour retrouver la formule.
Pour hazdrubal, l'interpolation n'est pas du tout une méthode d'approximation. Pour ça on utilise d'autres outils (cherche polynômes d'approximation sur Google)

Bah pour moi graphe c'est genre une courbe typique de celle qu'on retrouve dans les livres de maths.

EDIT: oups! j'avait pas dit que je n'étais qu'en 2nde. Donc je ne connais les polynomes. En quelle classe les voit-on ?

Si tu es en seconde, je pense que tu as déjà dû voir quelques polynômes de degré 2 par-ci par-là, mais tu en as déjà vu beaucoup, les polynômes de degré 1, càd les fonctions du type <math>\(f(x)=ax+b\)</math>.
Un polynôme du second degré sera de la forme <math>\(ax^2+bx+c\)</math>; et je te laisse deviner quelle est la forme d'un polynôme de degré supérieur.

Mais pour en revenir à la question et compléter ce qui a été dit, non, on ne peut pas être catégorique, il n'y a pas de méthode pour retrouver la formule d'une fonction simplement en étudiant son graphe qui, par soucis de sauvegarde de la forêt amazonienne (et de toute les forêts du monde d'ailleurs) est forcément partiel, et donc empêche de connaître les valeurs ou le comportement de la courbe en dehors de la fenêtre où on la regarde.

Pas grave, mais j'ai cru comprendre que le polynôme état le type de fonction. Ceux du degré 1 sont des fonctions affines donc.

Mais un polynôme est une fonction ou correspond à une fonction ?

Je n'ai pas encore parlé de la notion de polynôme, si ça constitue un grand "spoil", ne me le dis pas stp.

Le terme polynôme peut être utilisé pour parler de fonction, mais cet emploi est abusif: on parle plutôt de fonction polynomiale pour être correct (enfin à notre époque du moins, historiquement, les polynômes désignait au départ nos fonctions polynomiales).

En effet, parler de polynôme réfère à des objets que tu verras plus tard dans ton cursus si tu continue dans des filières où on retrouve pas mal de maths: les polynômes à une ou plusieurs indéterminées sont utilisés principalement en algèbre où les indéterminées sont des objets formels (on ne s'intéresse pas de savoir à quel ensemble appartiennent ces indéterminées mais plutôt aux opérations auxquelles on peut les soumettre).

Une fonction polynomiale est définie par un polynôme dont les indéterminées appartiennent cette fois-ci à un ensemble donné (ou plusieurs).

Mais euh toutes les fonctions sont polynomiales alors...

parce que
<math>\(f(x)=ax+b\)</math>
ou
<math>\(f(x)=ax^2 +bx+c\)</math>
ou
<math>\(f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d\)</math>
etc... représente toutes les fonctions pas forcément simplfiées

Eh non.
Par exemple, la fonction cosinus (si tu l'as vu) n'est pas polynomiale.

(Après un coup d'oeil rapide sur les programmes officiels de seconde, je crois qu'effectivement, toutes les fonctions que tu verras cette année sont polynomiales...)

Non, il y a beaucoup d'autres types de fonctions, par exemple, la fonction <math>\(f:x \mapsto sin(x)\)</math> ou plus simplement la fonction <math>\(f:x \mapsto \dfrac{1}{x}\)</math> ne sont pas polynomiales.

Et même des fonctions qui sont très loin d'être des polynomiales (car mes précédents exemples peuvent être approchés en chaque point par des polynômes de degré de plus en plus grands) comme par exemple, en 0, la fonction <math>\(f:x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}\)</math> où <math>\(e\)</math> est un nombre qui vaut environ 2,7 et quelques (enfin tu peux prendre n'importe quel nombre strictement plus grand que 1 à la place)

Edit: grilled

Ouais mais euh pourquoi avoir choisi ça <math>\(f:x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}\)</math> ?

<math>\(f:x\mapsto e^2\)</math> aurait très bien suffi, n'est-ce pas ?

Non, <math>\(e^2\)</math> étant une constante, la fonction que tu proposes est une fonction polynomiale d'ordre 0 (je me doute qu'il doit y avoir une erreur le frappe ^^)

Sinon, d'autres fonctions très simples n'étant pas des polynômes : <math>\(f:x\mapsto\frac{1}{x}\)</math> et la fonction partie entière.

D'une façon générale, il y a bien plus de fonctions qui ne sont pas polynomiale que de fonctions polynomiales, cependant, les polynômes sont très utiles (on peut notamment approximer n'importe quelle fonction continue sur un segment par un polynôme).

Citation : linkzelda49

Ouais mais euh pourquoi avoir choisi ça <math>\(f:x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}\)</math> ?

<math>\(f:x\mapsto e^2\)</math> aurait très bien suffi, n'est-ce pas ?

Je me suis égaré un peu en parlant de cette fonction: retiens plutôt les autres exemples !

La fonction partie entière késako ?

La fonction partie entière est une fonction définie sur les réels qui à un nombre <math>\(x \in \mathbb{R}\)</math> associe le plus grand entier inférieur ou égal à <math>\(x\)</math>.

Si on note <math>\(E(x)\)</math> la partie entière d'un nombre réél <math>\(x\)</math>, elle vérifie alors:
- <math>\(E(x) \in \mathbb{Z}\)</math> l'ensemble des entiers relatifs.
- <math>\(E(x) \leqslant x < E(x)+1\)</math>

En informatique, c'est la fonction floor en C/C++ par exemple, si ça peut te donner une idée.

Sa représentation graphique ressemble à un escalier:

Ah ok ça correspond donc à la fonction Int: d'une Casio Graph 25+.

Mais <math>\(f(x)=E(x)\)</math> est la notation exacte de cette fonction ? Parce qu'il me semble que quand on met une lettre majuscule suivit d'un nombre ou d'une lettre entre parenthèses (ex:<math>\(P(x)\)</math>), il s'agit d'une probabilité, si mes souvenirs de 3e sont exacts.

La notation que j'ai employé n'est pas canonique, et en effet, les probabilistes utilisent également le <math>\(E(X)\)</math> ou <math>\(\mathbb{E}(X)\)</math> pour l'espérance de la v.a. <math>\(X\)</math>. Mais, les lettres majuscules comme <math>\(P,Q,R\)</math> sont plutôt employées pour les polynômes justement... mais bon après ça dépend surtout des habitudes et des goûts de chacun.

Si tu veux une notation plus usuelle pour la partie entière de <math>\(x\)</math>, ce serait plutôt <math>\([x]\)</math> ou <math>\(\lfloor x \rfloor\)</math>

En maths tu es assez libre de tes notations tu as le droit de noter une fonction avec une lettre majuscule ou minuscule ce n'est vraiment pas un problème.

Mais, une fonction affine est une fonction polynomiale de type 1 ?

Tout dépend (on parle plutôt de degré) :
une fonction affine non constante est un polynôme de degré 1.
une fonction affine constante (non nul) est un polynôme de degré 0.
La fonction affine nul est de degré moins l'infini par convention.