Bonjour à tous,
je suis actuellement en L2 de mathématiques à Jussieu, et les partiels aprochent.
Pour les zéros qui connaissent un peu, je fais LM270: algèbre 2è année.

Je bloque depuis 3 jours sur les formes de Jordan d'un endomorphisme.
J'ai raté les TD, et je cherche la méthode tout seul, cependant les polys de cours ne sont pas très explicites et si je suis arrivé à démontrer l'existence d'une base où l'endomorphisme peut s'écrire comme une matrice diagonale par block de matrice.
J'ai assez bien compris que la taille des block de Jordan était une partition de n (n dimension de l'espace vectoriel) suivant la suite des dimensions des kernels des espaces "propres"
Cependant, que mettre à l'intérieur de chaque block de Jordan?

Exemple d'exercice :

déterminer la forme normale de jordan de la matrice :

1	0	1	-1	-1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	0
0	0	0	1	0
1	-1	1	-1	3

Salut,

Chaque sous-espace primaire W se décompose en une somme directe de sous-espace invariant <math>\(W = U_{1} + ... + U_{s}\)</math> (Désolé je ne sais pas faire le signe de la somme directe ) où dans chaque <math>\(U_{j}\)</math> il existe une base par rapport à laquelle la matrice de l'endomorphisme restreint à <math>\(U_{j}\)</math> est de la forme

<math>\($ \begin{pmatrix} \lambda&1&0&...&...&...&...&...&...&0 \\ 0&\lambda&1&0&...&...&...&...&...&0 \\ ...&...&...&...&...&...&...&...&...&1 \\ 0&...&...&...&...&...&...&...&...&\lambda\\ \end{pmatrix}$\)</math>
Où <math>\(\lambda\)</math> est l'unique valeur propre de l'espace primaire considéré

J'espère que c'était un minimume clair, c'est pas évident d'écrire les notations correctes en LaTeX :s
Si tu as d'autres questions, n'hésites pas ça me fait réviser pour mes partiels également

Ok ok.
Juste c'est quoi la différence entre sous espace primaire, et sous espace propre, ou sous espace caractéristiques.
(si j'ai bien compris les sous espaces propres sont Ker(A-XI) - ou X est l'indéterminé tandis que le sous espace caractéristiques est ker(A-XiIn)<math>\(^mi\)</math>
ou mi est la multiplicité algébrique de la valeur propre Xi)
ALors c'est quoi un sous espace primaire ?
De plus il me semble que pour que les sous espace propre soit en somme direct de ton e.v. il faut que pour tout i, dim(Ker(A-XiIn)=mi.

D'avance merci,

Soit A une matrice carrée d'une Transformation linéaire.
Un espace propre relatif à une valeur propre <math>\(\lambda\)</math> est l'espace engendré par les vecteurs propres relatifs à <math>\(\lambda\)</math>.
En effet une des manières de trouver une base de cette espace propre est de calculer <math>\(Ker(A - \lambda I_{n})\)</math>.
La multiplicité algébrique d'une valeur propre est la multiplicité de <math>\(\lambda\)</math> comme racine du polynôme caractéristique.
Un sous-espace primaire est bien l'espace généré par une base de <math>\(ker(A - \lambda I_{n})^{m_{i}}\)</math> où <math>\(\lambda\)</math> est une valeur racine d'un polynôme annulateur de A et <math>\(m_{i}\)</math> la multiplicité algébrique de cette dernière. Il est important de noter que l'on peut trouver les sous-espaces primaires aussi bien avec le polynôme minimal qu'avec le polynôme caractéristique (comme ils ont exactement les mêmes racines, il y a juste les multiplicités qui changent).
Pour que la somme directe des sous-espaces primaires donne l'espace tout entier, il suffit que le polynôme annulateur soit scindé.

Si <math>\(\labda_k\)</math> est une valeur propre (d'un endomorphisme <math>\(T\)</math>), le sous espace-propre associé <math>\(E_k\)</math> est l'ensemble des vecteurs propres associés à <math>\(\labda_k\)</math>. C'est-à-dire les <math>\(v\)</math> tels que <math>\(\labda_k v= T v\)</math>.
C'est donc aussi <math>\(\ker(T - \lambda_k I)\)</math>

L'idée derrière la diagonalisation est que si la somme directe des sous-espaces propres vaut <math>\(E\)</math> tout entier, on peut écrire l'endomorphisme comme matrice diagonale dans une base d'éléments des <math>\(E_k\)</math>. Seulement ce n'est possible que si la somme des dimensions des sous-espaces propres est la dimension de E (les ss-espaces propres sont toujours en somme directe). Cette condition s'exprime aussi en fonction des multiplicités des valeurs propres.

Si la diagonalisation n'est pas possible, il faudrait essayer d'"agrandir les ss-espaces propres" afin d'obtenir une base de E.
Cela étant, si on l'agrandit n'importe comment, on perd l'utilité de la réduction.
On cherche en fait des <math>\(F_k\)</math> tels que
-<math>\(F_1 \oplus \ldots \oplus F_n = E\)</math>
-<math>\(E_k \subset F_k\)</math>

Si on peut les trouver, avec en plus la stabilité des <math>\(F_k\)</math> pour <math>\(T\)</math>, c'est-à-dire que <math>\(T(F_k) \subset F_k\)</math>, on aura comme conséquence qu'une matrice représentant <math>\(T\)</math> dans une base <math>\(f_{1,1},\ldots,f_{1,\mu_1},\ldots,f_{n,\mu_1},\ldots,f_{n,\mu_n}\)</math> où <math>\(f_{j,k} \in F_j\)</math> sera de la forme
<math>\(\left(\begin{array}{cccc}A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & A_n\end{array}\right)\)</math>
Où <math>\(A_k\)</math> est une matrice carré de dimension <math>\(\mu_k\)</math> la multiplicité algébrique de <math>\(\lambda_k\)</math>.
Une jolie matrice bloc-diagonale.


Encore faut-il avoir une décomposition en sous-espaces stables. Pour construire, on utilise le polynôme minimum de <math>\(T\)</math> (le plus petit polynôme <math>\(P\)</math> tel que <math>\(P(T) = 0\)</math>. Il possède les mêmes zéros que le polynôme caractéristique (qui annule aussi T), de multiplicité moindre (ou égale) (on note <math>\(\mathcal{M}_T(T)\)</math> le polynôme minimum et <math>\(m_k\)</math> les multiplicités de ces zéros).

On remarque que
<math>\(\{0\} = \ker((T - \lambda_k I)^0) \subsetneq \ker((T - \lambda_k I)^1)\subsetneq \ldots \subsetneq \ker((T - \lambda_k I)^{m_k}) = \ker((T - \lambda_k I)^{m_k + 1}) = \ldots\)</math>

Cette propriété importante s'appelle la stabilisation des noyaux (elle possède un homologue pour les images, avec des <math>\(\supsetneq\)</math>).

On pose en fait <math>\(F_k = \ker((T - \lambda_k I)^{m_k})\)</math>. Vu la stabilisation des noyaux, on a <math>\(F_k = \ker((T - \lambda_k I)^{\mu_k})\)</math>, comme <math>\(\mu_k \geq m_k\)</math>. On peut aussi montrer que les <math>\(F_k\)</math> sont stables. Ces espaces sont appelés sous-espaces caractéristiques.

La prochaine étape consiste à montrer <math>\(F_1 \oplus \ldots \oplus F_n = F\)</math> (on utilise les projecteurs spectraux pour ça). On peut dès lors écrire <math>\(T\)</math> sous la forme montrée plus haut.

La dernière étape consiste à donner une forme intéressante aux <math>\(A_k\)</math>. C'est-à-dire fournir une base <math>\(f_{k,1}, \ldots, f_{k,m_k}\)</math> de <math>\(A_k\)</math> pour tout <math>\(k\)</math>.

On remarque d'abord que si <math>\(N\)</math> est un endomorphisme nilpotent d'indice <math>\(n\)</math> (i.e. <math>\(n\)</math> est le plus petit <math>\(j\)</math> tel que <math>\(N^j = 0\)</math>). Il existe une base <math>\(e_1 \ldots e_n\)</math> telle que
<math>\(e_1 = 0\)</math> et <math>\(e_{k-1} = N e_k\)</math>.

Il vient que <math>\(N\)</math> s'écrit dans cette base
<math>\(J_n = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{array}\right)\)</math>

Si on regarde la restriction de <math>\(T_k = T - \lambda_k I\)</math> à une partie de <math>\(F_k\)</math>, on a bel et bien un endomorphisme nilpotant d'indice de nilpotance <math>\(m_k\)</math> (la multiplicité de <math>\(\lambda_k\)</math> comme zéro du polynôme minimum de <math>\(T\)</math>).

Si on peut découper <math>\(F_k\)</math> en une somme directe de sous-espaces stables dont la dimension de chaque est inférieure ou égale à <math>\(m_j\)</math>, on a donc, pour chaque <math>\(G_l\)</math> de cette décomposition

-<math>\(T_k = T - \lambda_k I\)</math> restraint à <math>\(G_l\)</math> stable
-<math>\(T_k = T - \lambda_k I\)</math> nilpotant sur <math>\(G_l\)</math> d'indice de nilpotance <math>\(m_j\)</math>
Si on a une base de <math>\(G_l\)</math> de la forme <math>\(T_k^{j-1} x, \ldots, T_k x, x\)</math> (<math>\(x \in G_l\)</math>, on remarque que la restriction de <math>\(T_k\)</math> s'écrit dans cette base <math>\(J_m\)</math>.

Il vient que la restriction de <math>\(T = T_k + \lambda_k I\)</math> s'écrit <math>\(J_j + \lambda_k I_j\)</math> (<math>\(I_j\)</math> est la matrice identité en dimension <math>\(j\)</math>).

Donc si on sépare <math>\(F_k\)</math> de bonne manière, le matrice <math>\(A_k\)</math> prend la forme
<math>\(\left(\begin{array}{cccc}J_{j_1}' & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{j_n}'\end{array}\right)\)</math>
avec <math>\(J_j' = J_j + \lambda_k I_j\)</math>
dans une base de <math>\(F_k = G_1 \oplus \ldots \oplus G_k\)</math> de la forme
<math>\(T_k^{j_1-1} x_1, \ldots, T_k x_1, x_1 \ldots\ldots, T_k^{j_m-1} x_m, \ldots, T_k x_m, x_m\)</math>

Le tout est donc d'avoir une telle base.

On appelle chaine une suite <math>\(N^p x_1, N^{p-1} x_1, \ldots, Nx_1, x_1\)</math> telle que <math>\(N^{p+1} x_1 = 0\)</math> (et <math>\(N^{q} x_1 \not= 0\)</math> si <math>\(q >= q\)</math>).

On remarque que deux chaines <math>\(N^p x_1, N^{p-1} x_1, \ldots, Nx_1, x_1\)</math>
<math>\(N^q x_2, N^{q-1} x_2, \ldots, Nx_2, x_2\)</math> ont tous leurs éléments linéairement indépendantes si leurs queue (i.e. <math>\(N^p x_1\)</math> et <math>\(N^q x_2\)</math>) le sont.


De plus, on montre que si on écrit un tableau de chaines linéairement indépendantes, triés verticalement par longueur (nombre d'éléments) décroissant, (comme ceci)
<math>\(\begin{array}{ccccc}N^q x_1 & N^{q-1} x_1& \ldots & Nx_1 & x_1 \\N^q x_2 & N^{q-1} x_2& \ldots & Nx_2 & x_2 \\\vdots & & & & \\N^{q-1} x_r & N^{q-2} x_r& \ldots & x_r & \\\vdots & & & & \\N^2 x_r & N x_r & x_r & & \\N^2 x_{r+1} & N x_{r+1} & x_{r+1} & & \\\vdots & & & & \\x_t & & & & \\\end{array}\)</math>

les <math>\(k\)</math> premières colonnes forment une base de <math>\(N^k\)</math>.

De plus, on remarque que le nombre d'éléments dans la k-ième colonne est toujours
<math>\(\dim(\ker(N^k)) -\dim(\ker(N^{k-1}))\)</math>

Et donc la forme du tableau ne dépend pas de la base choisie.


En pratique, pour trouver la forme de Jordan, il faut donc :
-trouver les valeurs propres
-trouver le polynôme minimum
-chercher les bases réparties en chaines de <math>\(T_k\)</math>, sachant que la plus grande chaine est de longueur inférieur ou égale à <math>\(m_k\)</math> et le nombre d'éléments total est <math>\(\mu_k\)</math>

Par exemple pour l'exercice
<math>\(T = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 1 & -1 & -1\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & -1&1 & -1 & 3\end{array}\right)\)</math>,
On calcule le polynôme caractéristique, on obtient (je passe les étapes) <math>\(\chi_T(\lambda) = (1 - \lambda)^3 (2 - \lambda)^2\)</math>
Le polynôme minimum est donc de la forme <math>\((T - I)^a (T - 2 I)^b = 0\)</math> avec <math>\(a \in \{1,2,3\}\)</math> et <math>\(b \in \{1,2\}\)</math>

On calcule les sous-espaces propres :
<math>\(E_1 = \rangle e_1 + e_2 \langle\)</math> et <math>\(E_2 = \rangle e_5 - e_1 \langle\)</math>
Il vient donc <math>\(a = 2 \mbox{ ou } a = 2\)</math> et <math>\(b = 2\)</math>

On calcule <math>\((T - I)^a\)</math>, dont le rang vaut 3, hors 5 - 3 = 2, et donc le noyau est de degré deux. Il vient que <math>\(a = 3\)</math>.

On a donc le polynôme minimum.
On calcule les sous-espaces propres :
<math>\(F_1 = \ker{(T - I)^3 = \rangle e_1 + e_2, e_1 - e_3, e_1 + e_4 \langle\)</math>, et donc <math>\(F_2 = \rangle e_1, e_5 \langle\)</math>

Cherchons donc une base répartie en chaine de <math>\(F_1\)</math>

Le nombre d'éléments dans la première colonne du tableau est
<math>\(\dim(\ker(T_1^1)) - \dim(\ker(T_1^0)) = 1 - 0 = 1\)</math>
Comme c'est par ordre décroissant, on a une seule chaine de longueur 3 <math>\((T - I)^2 x, (T - I) x, x\)</math>.
Cherchons un x tel que <math>\((T - I)^2 x \not= 0\)</math> et <math>\((T - I)^3 x = 0\)</math>. <math>\(e_1 +e_4\)</math> convient. On peut calculer les <math>\((T - I)^j (e_1 + e_4)\)</math>.

On a donc une base répartie en chaine de <math>\(F_1\)</math> donnée par <math>\(e_1 + e_2, e_3 - e_1, e_1 + e_4\)</math>,
et la matrice <math>\(J_1' = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\0 &1 & 1\\0&0 & 1\end{array}\right)\)</math>


Cherchons donc une base répartie en chaine de <math>\(F_2\)</math>

Le nombre d'éléments dans la première colonne du tableau est
<math>\(\dim(\ker(T_2^1)) - \dim(\ker(T_2^0)) = 1 - 0 = 1\)</math>
Comme c'est par ordre décroissant, on a une seule chaine de longueur 2 <math>\((T - 2 I) x, x\)</math>.
Cherchons un x tel que <math>\((T - 2I) x \not= 0\)</math> et <math>\((T - 2I)^2 x = 0\)</math>. <math>\(e_1\)</math> convient.
On a donc une base répartie en chaine de <math>\(F_2\)</math> donnée par <math>\(e_5 - e_1, e_1\)</math>,
et la matrice <math>\(J_2' = \left(\begin{array}{ccc}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right)\)</math>

Au final,
dans la base <math>\(e_1 + e_2, e_3 - e_1, e_1 + e_4, e_5 - e_1, e_1\)</math>, caractérisée par la matrice
<math>\(S = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & -1& 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\)</math>,
Il vient que
<math>\(J = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)\)</math>
est telle que <math>\(T = S^{-1} J S\)</math>

Notons que dans ce cas-ci on a pour chaque espace propre une base d'une seule chaine. Ce n'est pas toujours le cas.

si je me rappelle bien le vrai problème réside dans la détermination de matrice de passage

les bloc sont construit a partir d'ordre de multiplicité des valeurs propres et dim des sous espaces propres


mais vraiment je rappelle pas bien comment

bonne chance

Merci quarante-sept.
J'ai pas encore eu le temps de tester sur un autre exercice, je suis très préssé en ce moment (révolution,vie soicale, partiel, boulot :/). Mais j'ai tout lu et j'ai compris pas mal de choses.
J'essaye ce week end, probablement demain, et je reviens si j'ai des questions. Mais avec le post très précis de 47 ça devrait le faire =)