Bonjour,
je ne comprends pas cette formule pour calculer <math>\(e\)</math> :<math>\(\sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}\)</math>
Et j'aimerais bien savoir quelle est l'utilité de <math>\(e\)</math>, car il y a marqué que c'est une constante fondamentale des mathématiques. Merci d'avance.

wikipedia et sdz

Origine du nombre e, inventé par Euler:
Le problème était le suivant:
Soit une banque qui rémunère ton compte à 100% d'intérêts annuels. Si on dépose 1 euro, au bout d'un an, on a 1+1=2 euros.
Imaginons que les intérêts soient calculés tous les 6 mois (donc 50% à chaque fois). Au bout de 6 mois, on a: <math>\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\)</math>, et au bout d'un an, <math>\(\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25\)</math>. Si on calcule les intérêts 4 fois par an, on aura <math>\(\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2.44\)</math>. Le problème d'Euler était de savoir combien on obtenait si on calculait les intérêts "continuellement", donc de trouver la limite de <math>\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)</math>. Et cette limite, il l'a appelée <math>\(e\)</math>.
Après, je ne sais pas comment on passe de cette limite à la formule que tu donnes, d'autres arriveront surement à t'expliquer ce calcul.

Pour l'importance de e, il intervient surtout sous la forme de la fonction exponentielle, qui est
<math>\(f(x)=e^x\)</math>


Cette fonction a la particularité d'être égale à sa dérivée. En clair, ca signifie que sa variation est égale à sa valeur: plus la valeur est grande, plus elle augmente vite. Tu peux le voir dans l'histoire des intérets bancaires ci-dessus: pour un même taux, plus il y a d'argent, plus il y a d'intérets.
Par exemple, s'il a un intéret de 10% par an, la premiere année, tu auras 110 euros (on ajoute 10% de 100, donc 10 euros), mais la deuxieme année, tu n'auras pas 120 euros mais 121 (on ajoute 10% de 110, donc 11 euros). Et lorsque tu atteindras 200 euros, l'année d'apres tu auras 220 euros (+ 20).
Donc 10 % par an, ca fait pas une croissance constante, ca fait une croissance exponentielle.
Et ce phénomène intervient partout: en electronique (plus un condensateur est chargé, plus son taux de décharge est important), en dynamique des populations (plus il y a d'individus, plus il y a d'enfants qui naissent, donc plus la population augmente)...
Bref, le nombre e intervient un peu partout...

Citation : hazdrubal

Après, je ne sais pas comment on passe de cette limite à la formule que tu donnes, d'autres arriveront surement à t'expliquer ce calcul.

Ca se fait à l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral si mes souvenirs sont bons. J'éditerais pour mettre la démo d'ici quelques minutes

Edit:

Alors tout d'abord voilà la formule de Taylor avec reste intégrale

Soit <math>\(f\)</math> une fonction définit sur un segment [a,b] vers un corps K (<math>\(\mathbb{R}\)</math> ou <math>\(\mathbb{C}\)</math>) de classe <math>\(C^{n+1}\)</math> sur [a,b]

Alors:

<math>\(f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \int_{a}^{b}\frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt\)</math>

Si quelqu'un se sent chaud de la démontrer ça se fait par récurrence avec une intégration par partie pour passer du rang n au rang n+1.

Et donc maintenant on cherche à montrer que <math>\(e^x=\sum_{n=0}^{+oo}\frac{x^n}{n!}\)</math>

Comme la dit hazdrubal, la fonction <math>\(exp\)</math> admet elle même pour dérivée, elle est donc dérivable une infinité de fois et chaque dérivé est continue (on dit qu'elle est alors de classe <math>\(C^{oo}\)</math>).

On applique donc maintenant la formule précédente à la fonction exponentielle sur l'intervalle <math>\([0,x]\)</math> (ça marche aussi sur <math>\([x,0]\)</math>) à l'ordre <math>\(n \in \mathbb{N^*}\)</math>

<math>\(\forall n \in \mathbb{N^*}\)</math>

<math>\(e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-0)^k}{k!} \times exp^{(k)}(0) + \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} \times exp^{(n+1)}(t) dt\)</math>

<math>\(e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} \times e^t dt\)</math>

On cherche maintenant à majorer l'intégrale.

Pour <math>\(x>0\)</math>

<math>\(| \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} \times e^t dt|= \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} \times e^t dt\)</math>

<math>\(\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} \times e^t dt \leq \int_{0}^{x} \frac{|x|^n}{n!} \times e^x dt = \frac{x^{n+1}}{n!} e^x\)</math>

Pour <math>\(x<0\)</math> On trouvera une majoration similaire:

<math>\(\frac{|x|^{n+1}}{n!} e^{|x|}\)</math>

Les deux majorations sont les mêmes quelques soit le signe de x.

Ainsi:

<math>\(|e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}| \leq \frac{|x|^{n+1}}{n!} e^{|x|}\)</math>

On note <math>\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)</math>, la suite <math>\(\frac{|x|^{n+1}}{n!} e^{|x|}\)</math>

On a pour x différent de 0, <math>\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{|x|}{n+1}\)</math>

Donc la limite de <math>\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)</math> quand n tend vers +oo est 0.

Donc

<math>\(\exists n_0, \forall n \geq n_0 0<\frac{a_{n+1}}{a_n}< \frac{1}{2}\)</math>

D'où

<math>\(\forall n \geq n_0, 0\leq a_n \leq (\frac{1}{2})^{n-n_0} a_{n_0}\)</math>

Par théorème d'encadrement, la suite <math>\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)</math> converge vers 0.

Or

<math>\(0 \leq |e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}| \leq a_n\)</math>

Et donc par théorème d'encadrement, la limite de <math>\(e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\)</math> quand n tend vers l'infini est 0.

Donc: <math>\((\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!})_{n \in \mathbb{N}}\)</math> converge et a pour limite <math>\(e^x\)</math>

Soit <math>\(e^x=\sum_{k=0}^{+oo}\frac{x^k}{k!}\)</math>

Et si l'on prend x=1:

<math>\(e=\sum_{k=0}^{+oo}\frac{1}{k!}\)</math>

Heu... Désolé de vous harceler, mais le but c'est de poser des questions : C'est quoi, <math>\(f\)</math> et <math>\((x)\)</math> ?

Citation : jeuxvideos44

Heu... Désolé de vous harceler, mais le but c'est de poser des questions : C'est quoi, <math>\(f\)</math> et <math>\((x)\)</math> ?

Tu es en quelle classe ?

Voici un tutoriel en bêta-test sur les fonctions.

...En cinquième...

Citation : jeuxvideos44

...En cinquième...

Alors c'est normal que tu ne comprennes rien à la réponse de Ahti


Disons que <math>\(e\)</math> est une constante qui apparaît partout, à partir de la terminal S , car il fait d'abord définir les fonctions <math>\(f(x)\)</math>, les dérivées et les limites <math>\(f^{(n)}(x)\)</math> et les séries (pour ta définition de e) que l'on voit en prépa (regarde ici pour les sommes et les sommes infinies).

L'approche de hazdrubal me semble compréhensible, mais bon courage si tu veux tout comprendre aux autres posts.

Bon bah j'abandonne l'idée et j'attends la Terminale S. Sujet clos.

Citation : jeuxvideos44

Heu... Désolé de vous harceler, mais le but c'est de poser des questions : C'est quoi, <math>\(f\)</math> et <math>\((x)\)</math> ?

<math>\(f\)</math> est ce que l'on appelle une application, c'est en quelque sorte une machine qui transforme un élément mathématique en un autre élément mathématiques. Une fonction est un cas particulier d'application elle ne fait que transformer un nombre en un autre nombre (Bon j'ai vraiment élagué le truc mais dans l'ensemble c'est ça...)


Par exemple:
Quand j'écris <math>\(f:x \rightarrow 5x+3\)</math> il faut lire: "<math>\(f\)</math>, la fonction qui au nombre <math>\(x\)</math> associe le nombre <math>\(5x+3\)</math>". On note alors<math>\(f(x)=5x+3\)</math> (qui se lit: "<math>\(f\)</math> de <math>\(x\)</math> = <math>\(5x+3\)</math>")

Citation : jeuxvideos44

Bon bah j'abandonne l'idée et j'attends la Terminale S. Sujet clos.

Apprends ce que sont les 4 ensembles de bases N, Z, Q et R (pour C tu verras plus tard) et essaye de faire un tour sur ce site: http://xmaths.free.fr/.
Lien du cours sur les fonctions: http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.p [...] cours&page=01

Je vais reprendre ce sujet pour faire quand même une remarque : Je voulais avant tout COMPRENDRE la formule que j'ai mis dans le premier post, expliquer l'utilité de <math>\(e\)</math> et les fonctions c'était après.

Je t'en ai donné la démonstration dans mon premier post sur ce sujet, ça explique donc Pourquoi l'exponentielle peut s'écrire sous cette forme là... Le fait de comprendre la formule reviens donc à en comprendre la démonstration. Le problème que tu rencontres est plus dû à une insuffisance de connaissance en analyse, on est d'ailleurs tous passé par là, en 5eme j'ignorais même complètement l'existence de l'exponentielle.

Disons que j'ai essayé de lire le tutoriel sur la fonction exponentielle sans succès !

C'est un peu normal, ça demande beaucoup trop de pré-requis pour être abordé comme ça.

Il y a plusieurs moyen de l'introduire, on peut la définir comme étant une fonction invariante par dérivation, mais il faut alors savoir ce qu'est une dérivée ce qui n'est pas si intuitif que ça. Ou encore en passant par le fait qu'il s'agit de la fonction réciproque du logarithme népérien mais là encore il faut définir le logarithme népérien donc pour ça il faut connaitre les intégrales et pour comprendre les intégrales c'est quand même bien d'avoir compris la dérivation, et après ça il faudra encore définir la notion de fonction réciproque... On peut également passer par la trigonométrie mais là je préfère ne pas en parler...

...Le sujet est à nouveau fermé. Plus de posts, je pense.