Salut !
Je me suis cassé la tête pendant 3 jours avec cet exercice.. Help!

<math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> sont deux réels. Indiquer les conditions d'existence des complexes suivants, puis les mettre sous forme trigonométrique.

<math>\(A = \frac{1+itan(x)}{1-itan(x)}\)</math>

<math>\(B = \frac{1-e^{ix}}{1-e^{iy}}\)</math>

<math>\(C = \frac{e^{ix}+e^{iy}}{e^{ix}-e^{iy}}\)</math>

Pour les conditions d'existence, il faut se demander pour quelles valeurs de la variable, les nombres complexes A, B, C ne sont pas définis ; dans les trois cas, comme ce sont des quotients, cela revient à chercher quand est-ce que le dénominateur est non nul.

Pour le calcul :

• A : il faut certainement écrire tan avec cos et sin, puis multiplier le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur
• B : l'utilisation de l'angle moitié et les formules d'Euler devraient permettre d'obtenir ce que tu cherches
• C : dans le même genre d'idée que B à mon avis

Désolée, je suis pressée, c'était pour te donner des débuts d'idée, mais n'ayant pas fait les calculs, je ne suis pas sûre que ça aboutisse...

Condition d'existence:

Pour le A:
<math>\(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi; k\in\mathbb{Z}\)</math>

Pour le B:
<math>\(y\neq2k\pi; k\in\mathbb{Z}\)</math>

Pour le C:
<math>\(x\neq y+2k\pi; k\in\mathbb{Z}\)</math>

Non?

Oui c'est bien ça.
Pour le premier, rappelle toi que <math>\(1+tan^2(x)=\dfrac{1}{cos^2(x)}\)</math> et <math>\(1-tan^2(x)=2-\dfrac{1}{cos^2(x)}\)</math>

Y'a le i qui ruine tout.. sauf que je me suis débrouillé avec Euler pour le A:
A = cos(2x) + isin(2x).

B et C sont un peu plus dûrs...

Pour le B, factorise en haut par <math>\(e^{i\frac{x}{2}}\)</math> et en bas par <math>\(e^{i\frac{y}{2}}\)</math>

@Rushia: ça donne ça..

<math>\(B=e^{i(\frac{x-y}{2})} \times \frac{sin(\frac{x}{2})}{sin(\frac{y}{2})}\)</math>

Euh ce n'est pas une forme trigonométrique ça..

non, mais presque
<math>\(e^{i\left(\frac{x-y}{2}\right)}=\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)+i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\)</math> et <math>\(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}\)</math> est une constante un réel.

Citation : rushia

<math>\(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}\)</math> est une constante.

Il n'y pas de condition autre que celle mentionnée par Poeter précédemment sur <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math>, non ? Alors <math>\(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}\)</math> n'est pas constant: <math>\(x=\pi\)</math>, <math>\(y=2\pi/3\)</math> donne une valeur différente du quotient des sinus que pour <math>\(x=2\pi/3\)</math>, <math>\(y=\pi\)</math>.

Ou j'ai loupé quelque chose ...

Edit: Ok, pardon, je viens de voire ton edit ! Désolé !

Mmm..
Faudrait savoir si <math>\(\frac{sin(\frac{x}{2})}{sin(\frac{y}{2})}\)</math> est positif ou pas.

Si on se limite à <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> dans <math>\([0,2\pi]\)</math>, normalement c'est positif.
Et si on se réfère à la première expression, si on remplace <math>\(x\)</math> par <math>\(x+2k\pi\)</math> ou <math>\(y\)</math> par <math>\(y+2k\pi\)</math>, on tombe sur le même nombre, donc il peut être légitime de se limite à l'intervalle ci dessus.

Okey..
Pour le C, des suggestions?

J'aurais bien envie d'utiliser le même principe en factorisant par <math>\(e^{ix}\)</math> puis <math>\(e^{i\frac{y-x}{2}}\)</math> en haut et en bas (ou alors factoriser directement par <math>\(e^{i\frac{x+y}{2}}\)</math>).

http://sciences.siteduzero.com/forum-8 [...] metrique.html

Citation : rushia

Si on se limite à <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> dans <math>\([0,2\pi]\)</math>, normalement c'est positif.
Et si on se réfère à la première expression, si on remplace <math>\(x\)</math> par <math>\(x+2k\pi\)</math> ou <math>\(y\)</math> par <math>\(y+2k\pi\)</math>, on tombe sur le même nombre, donc il peut être légitime de se limite à l'intervalle ci dessus.

N'oublie pas la condition d'existence de B: <math>\(y\neq2k\pi; k\in\mathbb{Z}\)</math>

<math>\(]0,2\pi[\)</math> alors

Après le calcul:

<math>\(C= \frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{i\sin(\frac{x+y}{2})}\)</math>

Je bloque ici

<math>\(C= \frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{i\sin(\frac{x+y}{2})}=\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}(-i) = \frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\)</math>
Reste le problème du signe de <math>\(\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}\)</math>

x et y sont des réels. Rien à faire, je pense.

Je pense qu'on peut conclure comme ça, en considérant que <math>\(x,y \in [0,2\pi]\)</math>:

Si <math>\((x+y) \in ]0,\pi]\cup]2\pi,3\pi]\)</math>, alors <math>\(C=\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\)</math> puisque <math>\(\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}\geqslant0\)</math>

sinon <math>\(C=-\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin(\frac{x+y}{2})}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\)</math> pour <math>\((x+y) \in [\pi,2\pi[\cup[3\pi,4\pi[\)</math>

Amen.
Merci les gars.