Bonsoir,

Tout d'abord, désolé d'ouvrir un sujet pour une question aussi débile que celle-ci, mais j'avoue que je suis un peu séchée devant...

Je replace le contexte de l'exercice :
Soit <math>\(A=(x_{_{i,j}})\in M_{_{n,p}}(\mathbb{R})\)</math>.
<math>\(N_{1}(A)= max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i,j} \right |)\)</math> (et la norme 2 identique mais avec un max sur la ligne et une somme sur la colonne, mais peu importe).

Après diverses questions, j'arrive sur :
En considérant la matrice comme carrée, montrez que <math>\(N_{1}(AB)\leq N_{1}(A)N_{1}(B)\)</math> (de même avec la norme 2).

Si j'ai l'une, j'ai l'autre évidemment, mais je bloque dès le début. Surement un truc tout con sur la réécriture du produit matriciel et la manipulation du produit d'un maximum.

J'ai ceci :
<math>\(N_{1}(A)N_{1}(B)= max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i,j} \right |)*max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^{n}\left | b_{i,j} \right |)\)</math>
et ceci :
<math>\(N_{1}(AB)= max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^{n}\left |\sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \: b_{k,j} \right |)\)</math>

Un peu d'aide ?

Merci !

Salut,

Tu as <math>\(\sum_i \left| \sum_k a_{i,k}b_{k,j} \right| \le \sum_k \left(\sum_i |a_{i,k}|\right)|b_{k,j}|\)</math>

Et tu peux dire : <math>\(\sum_i |a_{i,k}| \le N(A)\)</math>

Je te laisse finir tout seul

Tu peux aussi remarquer que c'est la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle communément appelée norme infinie.

Ainsi, c'est une norme matricielle, donc elle vérifie bien l'inégalité

sebsheep, merci beaucoup. C'était tout bête en fin de compte. Je rédige demain correctement et passerai en résolu le sujet. Merci encore !

Citation : doulilos

Tu peux aussi remarquer que c'est la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle communément appelée norme infinie.

Ainsi, c'est une norme matricielle, donc elle vérifie bien l'inégalité

Certes, mais c'était justement le but de l'exercice de le démontrer.

Toujours pas résolu il semblerait.
En fait j'ai toujours une somme sur k qui traine.
Ta deuxième inégalité est triviale, mais je ne vois pas à quoi elle me sert ici. :/

Citation : Hod

sebsheep, merci beaucoup. C'était tout bête en fin de compte.

Citation : Hod

Toujours pas résolu il semblerait.

Merci de rester cohérent et de donner les explications nécessaires pour que ton message reste intelligible.

Du coup, je peux écrire pour tout j dans {1..n} :
<math>\(\sum_i \left| \sum_k a_{i,k}b_{k,j} \right| \le \sum_k \left(\sum_i |a_{i,k}|\right)|b_{k,j}| \le \sum_k N(A) b_{k,j} = N(A) \sum_k b_{k,j}\)</math>

Après je ne peux pas aller plus loin sans te donner la solution !

Citation : candide

Merci de rester cohérent et de donner les explications nécessaires pour que ton message reste intelligible.

En fait je pensais avoir vu la solution le soir et l'écrire le lendemain. Sauf que ce lendemain ce n'était plus aussi limpide que la veille. x)

Enfin bref, j'étais bien arrivé à ce que tu m'as donné sebsheep, je n'avais juste pas pensé que N(A) ne dépendait plus de k et que je pouvais le sortir de la somme. Merci encore de ton aide. =)

Citation : Hod

montrez que <math>\(N_{1}(AB)\leq N_{1}(A)N_{1}(B)\)</math> (de même avec la norme 2).

Et tu y es arrivé pour la norme <math>\(N_{2}\)</math>, il me semble que c'est moins naturel que pour la norme <math>\(N_{1}\)</math>?

<math>\(N_2(A) = N_1({}^tA)\)</math>, non ? (Ou alors, je n'ai pas bien saisi sa <math>\(N_2\)</math> ?)

Citation : Pierre89

<math>\(N_2(A) = N_1({}^tA)\)</math>, non ? (Ou alors, je n'ai pas bien saisi sa <math>\(N_2\)</math> ?)

Si c'est ça (et c'est effectivement ce qu'il semble dire dans son message initial), alors c'est trivial mais je pensais plutôt à la norme usuelle racine carrée de la somme des carrés des coefficients de la matrice.

La norme deux est effectivement simplement la transposée. Elle a juste été redéfinie et ce n'est pas la forme usuelle.

Citation : candide

mais je pensais plutôt à la norme usuelle racine carrée de la somme des carrés des coefficients de la matrice.

En effet c'est moins immédiat, mais ça doit passer avec du Cauchy-Schwarz à répétition.