Bonsoir à toutes et à tous,

Je planche en ce moment sur un exo... que je pense assez stupide.
Etant donné deux endomorphismes <math>\(u\)</math> et <math>\(v\)</math> d'un <math>\(\mathbb{K}\)</math>-espace vectoriel de dimension finie, il s'agit de montrer que : <math>\(\textrm{rg} (u\circ v) \leqslant\min (\textrm{rg}\, u,\textrm{rg}\, v)\)</math>

Ok. What have I done ?
Je me dis qu'on a sans doute l'équivalence : <math>\(x \leqslant \min (y,z) \Longleftrightarrow x \leqslant y\)</math> et <math>\(x\leqslant z\)</math>. Avec <math>\(x,y,z\)</math> réels.

Donc, une des deux inégalités est simple. Etant donné que <math>\(\textrm{Im}\, (u\circ v) \subset \textrm{Im}\, u\)</math>, on a forcément : <math>\(\textrm{rg}\, (u\circ v) \leqslant \textrm{rg} \, u\)</math> (les espaces considérés étant bien de dimension finie).

Bien. Maintenant, il me resterait l'autre inégalité à démontrer. Mais je me demande : est-elle déjà vrai ? Si mon équivalence précédente l'est, alors oui.
Les arguments précédents ne permettent pas de réitérer le même raisonnement, malheureusement. Je cherche donc pour l'instant, en vain.

Je ne veux pas la réponse. J'aimerais juste le petit indice, le petit coup de pouce, la petite chose que je n'ai pas remarquée qui m'aiderait à avancer.

Merci de m'avoir lu et merci par avance pour votre aide,
Bonne soirée,

Hugo.

Peut être pourrais tu trouver une inclusion concernant les noyaux et conclure par le théorème du rang ?

Effectivement, ce qui apporte l'autre inégalité et conclus.

Merci énormément