Salut les zéros

Je n’arrive pas à résoudre l'inéquation suivante :
<math>\(\sqrt{x} = x^3\)</math>

Pourriez-vous m'éclairer ???
Merci

Bonjour lebrigan,

Normalement, juste en regardant l'équation, tu peux trouver 2 solutions "évidentes" et même te convaincre qu'il n'y en a pas d'autres en traçant, même sans être très précis, les graphes respectifs de <math>\(x \mapsto \sqrt{x}\)</math> et de <math>\(x \mapsto x^3\)</math>.

Ensuite, pour le prouver correctement, tu peux modifier légèrement ton équation puis factoriser par <math>\(\sqrt{x}\)</math>:

<math>\(x^3-\sqrt{x}=0\)</math> puis <math>\(\sqrt{x}(x^{\frac{5}{2}}-1)=0\)</math> et je te laisse conclure.

Si tu n'es pas très à l'aise avec les puissances fractionnaires, tu peux mettre ton équation au carré; tu obtiendras une équation équivalente car tu travailles avec des nombres positifs, et ensuite tu utilises la même méthode que celle que je t'ai proposée plus haut. Tu obtiendras ceci au final:

<math>\(x(x^{5}-1)=0\)</math>

Je t'avoue ne pas comprendre

Je sais bien que c'est pour x = 1 que les équations sont équivalentes (ta suggestion du graphique le démontre), mais après avoir factorisé comme tu m'as dit, je ne comprend pas ton raisonnement.

Soit plus précis sur ce que tu ne comprends pas... même si la réponse est tout, je ne connais pas ton niveau, ni ce que tu sais déjà sur le sujet.

Est-ce que le fait intuitif qu'il n'y a que 2 solutions en regardant les graphes est clair pour toi ?
Est-ce que c'est la dernière forme de l'équation que je t'ai donnée qui te pose encore problème ?

Edit: Ok, après ton edit, j'y vois plus clair !

Bon, à partir du graphe, on voit que 1 est solution, ok, mais il y a aussi 0.
Maintenant, je te donne une autre piste pour finir de résoudre cette équation à partir de ce que je t'ai déjà donné:

Citation : Proposition

Si <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> sont deux nombres réels tels que <math>\(a\times b=0\)</math>, alors <math>\(a=0\)</math> ou <math>\(b=0\)</math>

Voici ce que je n'ai pas compris. Cela m'a l'air un peu trop compliqué, non ???

Citation : sylpro

<math>\(x^3-\sqrt{x}=0\)</math> puis <math>\(\sqrt{x}(x^{\frac{5}{2}}-1)=0\)</math> et je te laisse conclure.

Si tu n'es pas très à l'aise avec les puissances fractionnaires, tu peux mettre ton équation au carré; tu obtiendras une équation équivalente car tu travailles avec des nombres positifs, et ensuite tu utilises la même méthode que celle que je t'ai proposée plus haut. Tu obtiendras ceci au final:

<math>\(x(x^{5}-1)=0\)</math>

Pour ma part, il me semble qu'il n'y qu'une seule solution pour l'inéquation.

Est-ce que tu as lu mon edit qui a suivi ton edit ?

Si ça ne t'aide toujours pas, n'hésite pas !

Ah non je n'avais pas vu
Je comprend ton raisonnement, mais je ne vois pas comment l'appliquer...

Et bien, puisque <math>\(x(x^5-1)=0\)</math>, alors <math>\(x=0\)</math> ou <math>\(x^5-1=0\)</math>.

Tu as d'ores et déjà <math>\(x=0\)</math> solution, il te reste donc à résoudre <math>\(x^5-1=0\)</math>, c'est-à-dire <math>\(x^5=1\)</math>.

Si j'ai bien compris ton raisonnement...

<math>\(x^3 - \sqrt{x} = 0\)</math>
<math>\((x^3 - \sqrt{x})^2 = 0^2\)</math>
<math>\(x^5 - x = 0\)</math>
<math>\(-1x + x^5 = 0\)</math>
<math>\(x(x^5-1) = 0\)</math>

Comme <math>\(x(x^5-1) = 0\)</math>, alors <math>\(x = 0\)</math>, ou <math>\(x^5 - 1 = 0\)</math>.

<math>\(x^5 - 1 = 0\)</math>
<math>\(x^5 = 1\)</math>

Donc pour <math>\(x = 0\)</math>, ou <math>\(x = 1\)</math>, <math>\(\sqrt{x} = x^3\)</math>.

Non, attention, tu as fait une erreur de calcul, c'est la première équation qu'il fallait mettre au carré, sans y avoir touché, sinon tu ne retrouves pas <math>\(x(x^5-1)=0\)</math>.

<math>\(\sqrt{x}=x^3 \Leftrightarrow x=x^6 \Leftrightarrow x^6-x=0 \Leftrightarrow x(x^5-1)=0\)</math>

Oups j'ai vraiment cru avoir compris? Merci de m'avoir corriger