Bonjour,

Voilà, je dois montrer que <math>\(\forall x \geq 0\)</math> la fonction <math>\(h_x:t->\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}\)</math> est intégrable sur <math>\(\mathbb{R}_+\)</math>

Voila donc comment j'ai commencé à procéder

<math>\(\forall a \in [0,+\infty[\)</math>

<math>\(\int_{0}^{+\infty}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt=\int_{0}^{a}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt+\int_{a}^{+\infty}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt\)</math>

On commence par:

<math>\(\int_{0}^{a}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt\)</math>

J'ai tout simplement dit qu'en 0 c'était équivalent à <math>\(\frac{xt}{t(t^2+1)}\)</math> on simplifie les t et magique ça donne un truc intégrable, donc par comparaison pour les fonctions positives <math>\(\int_{0}^{a}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt\)</math> intégrable.

Et maintenant

<math>\(\int_{a}^{+\infty}\frac{arctan(xt)}{t(t^2+1)}dt\)</math>

J'ai essayé en majorant le numérateur par <math>\(\frac{\pi}{2}\)</math> mais ça m'avance pas des masses...

Si quelqu'un à une quelconque indication à me fournir pour la résolution de mon problème sans pour autant me donner la solution, je lui en serais gré

Merci

Bonsoir,

suggestion

critère de Riemann pour <math>\(t^3h(t)\)</math> en montrant qu'il y a une limité non nulle à l'infini ...égale à <math>\(\frac{\pi}{2}\)</math> justement

Citation : nabucos

Bonsoir,

suggestion

critère de Riemann pour <math>\(t^3h(t)\)</math> en montrant qu'il y a une limité non nulle à l'infini ...égale à <math>\(\frac{\pi}{2}\)</math> justement

Oui enfin bon, majorer l'intégrant en valeur absolue par <math>\(\frac{\pi}{2t^3}\)</math> directement marche très bien...

Attention Ahti, lorsque tu écris : <math>\(\int_0^{+\infty} = \int_0^a + \int_a^{+\infty}\)</math>. A ce moment de la rédaction, cela n'a aucun sens : tu ne sais pas si chacun des termes converge.

Il vaut mieux faire : "étude de <math>\(\int_0^1\)</math>" <tu montres que ça cv>.
"étude de <math>\(\int_1^{+\infty}\)</math>" <tu mq que ça cv>.
Donc <math>\(\int_0^1 + \int_1^{+\infty}= \int_0^{+\infty}\)</math> cv.

Merci à vous deux

Et merci aussi pour les conseils sur la rédaction