Salut les gens,

J'essaye de résoudre :

<math>\($\int2^{6\cdot x+2}$\)</math>

Mon tableau me dit que <math>\($a^{x}$\)</math> équivaut à <math>\($\frac{a^{x}}{\ln(a)}$\)</math>

J'en déduis que <math>\(a=2\)</math>


J'en déduis que <math>\(x=6\cdot x+2\)</math>

Donc <math>\($\int2^{6\cdot x+2}=\frac{2^{6x+2}}{\ln(2)}$\)</math>

Mais après vérification, cela ne fonctionne pas

Quand tu as la variable à la puissance, je te conseille de toujours repasser par la forme exponentielle, sinon tu risques de faire de grosses erreurs

On a donc <math>\(2^{6x+2}=exp((6x+2)ln(2))\)</math>.
Tu dois donc trouver une primitive de l'exponentielle.
Tu peux remarquer qu'il s'agit d'une fonction composée : si on note <math>\(f(x)=(6x+2)ln(2)\)</math> et <math>\(g(x)=exp(x)\)</math>, alors <math>\(exp((6x+2)ln(2))=gof(x)\)</math>.

Pour trouver notre primitive, on va essayer d'écrire notre <math>\(gof(x)=exp(f(x))\)</math> sous la forme <math>\(f'(x) \times g'(f(x))=f'(x) \times exp(f(x))\)</math> : cette forme est en effet assez simple, puisqu'elle permet d'avoir directement les primitives, qui sont de la forme <math>\(exp(f(x))\)</math>.

Et pour faire ça, on va introduire de force ce qui nous arrange !
En effet, on remarque que <math>\(f'(x)=6ln(2)\)</math>, qui est une simple constante.
Si on multiplie <math>\(gof(x)\)</math> par <math>\(\frac{6ln(2)}{6ln(2)}\)</math>, on ne changera pas notre expression, mais on aura fait apparaître au numérateur <math>\(6ln(2) \times gof(x)\)</math>, soit <math>\(f'(x) \times exp(f(x))\)</math> et c'est exactement ce qu'on cherche !

Finalement, si on reprend les calculs :





Et voilà !


Edit : Je te conseille de savoir refaire cela et pas seulement appliquer bêtement une formule... parce que d'une part, c'est plus enrichissant et d'autre part, ça peut te donner des idées sur comment faire si tu as d'autres intégrales du genre. Après, ce n'est que mon avis...

∫ 2^(6x+2)dx = ∫(2^6)^x * 2^2 dx
= ∫64^x * 4 dx
= 4∫64^x dx

J'espère que c'est clair, je n'arrive pas à mettre les puissances correctement
En tout cas un conseil pour tes dérivées, simplifie au maximum ton équation avant de commencer. Il ne te reste plus qu'à utiliser ta formule maintenant

edit : Astuce pour la suite: ln(a^x) = xln(a) et exp[ln(a)] = a Je t'ai tout dis là

En simplifiant on a en effet :
<math>\(\begin{align*}\int 2^{6x+2}\mathrm dx &= \int 2^{6x} \times 2^2 \mathrm dx\\&= 4\int 2^{6x} \mathrm dx\end{align*}\)</math>
Arrivé ici, tu peux appliquer bêtement ta formule, mais en principe le plus simple est de passer par l'exponentielle puis de faire un petit changement de variable, ce qui donnerait :
<math>\(\int \exp[6x\ln 2]\mathrm dx\)</math> et en posant <math>\(t = 6x\ln 2\)</math> d'où <math>\(\mathrm dt = 6\ln 2 \mathrm dx\)</math> on aurait :
<math>\(\begin{align*}4\int e^t \dfrac{\mathrm dt}{6\ln 2} \mathrm dt&= \dfrac{4e^t}{6\ln 2} + c\\&= \dfrac{2\exp[6x\ln 2]}{3\ln 2} + c\\&= \dfrac{2\cdot 2^{6x}}{3\ln 2} + c\\&= \dfrac{2^{6x+1}}{3\ln 2} + c\\\end{align*}\)</math>

Edit : Ah, j'avais mal vu les parenthèses pour la formule de christo92, désolé.

Je remercie énormément Gr3n@d1n3 pour m'avoir apporté tout les détails du calcul.

Merci également à christo 92 pour la technique alternative.

Citation : christo92

je n'arrive pas à mettre les puissances correctement

Pour les puissances (et les math en général), je te suggère d'utiliser le bouton "math" réprésenté par l'icône <math>\(\int f(x)\)</math>. Ensuite à l'intérieur des balises nommées "math" tu tapes, par exemple \int2^{6x+2}dx ce qui donne <math>\(\int2^{6x+2}dx\)</math>.
Il s'agit d'avoir recours à <math>\(\TeX\)</math> comme lors de la rédaction d'un document sur <math>\(\LaTeX\)</math>

Edit: Il existe des éditeurs online comme ce site: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Merci pour l'info!