-
Edité par HdghgGdfsgs 15 septembre 2019 à 12:13:16

-

-
Edité par Zachee54 16 septembre 2019 à 14:59:33

réponse un peu tardive mais que j'espère encore utile. Indisponible pour les maths ces derniers jours !

1-l'inégalité 1 me semble une conséquence immédiate de l'inégalité de Taylor - Lagrange .

Si on ne connait pas, on peut effectivement étudier les variations de la fonction \(e^x-1-x -e*x^2/2\) et de sa dérivée sur l'intervalle  ]-1,1[. On trouve facilement qu'elle passe par un maximum en x=0 et sinon reste négative sur tout l'intervalle 

2a) il s'agit  d'une question de continuité.L'intégrale existe dans la mesure où la variation de \(t\) est limitée à l'intervalle ]-1,+1[ ( la fonction est localement intégrable pour tout x fixé de \(\mathbb{R}\). Ce serait moins simple si t variait sur tout \(\mathbb{R}\), intégrale généralisée.

je suppose que l'exercice ne s’arrête pas là. A priori, l'inégalité  2 b) est une façon de calculer la dérivée sous  le signe somme de \(\varphi(x)\) après division par \(h \rightarrow 0\). On peut soupçonner  que le but final est le calcul de l'intégrale de Gauss mais les bornes d'intégration me paraissent "bizarres" si c'est l'objectif ...( sous toute réserve!)

-
Edité par Sennacherib 18 septembre 2019 à 12:15:11

Merci pour votre réponse.

Effectivement cela ne s'arrête pas là...

Voici la suite. Édit : je vous l'ai envoyée en MP car l'envoi ici ne fonctionnait pas...

Je bloque à la 2.c (montrer que... tout en haut de la photo).

Pareil pour la 3b et la 4b et la 5. Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci beaucoup par avance

-
Edité par HdghgGdfsgs 18 septembre 2019 à 18:51:30

il y a quand même beaucoup de points de blocage ce qui laisse supposer que vous ne connaissez pas suffisamment votre cours sur des concepts un peu avancés à utiliser pour résoudre le problème "proprement".fonctions  intégrales dépendant d'un paramètre avec le théorème de la convergence dominée et les conditions de validité pour la continuité et la dérivation sous le signe somme d'une telle fonction, en particulier l'égalité entre sa dérivée et l'intégrale de la dérivée partielle. J'imagine que si on vous donne un tel exo, c'est qu vous avez eu des cours sur la question.

quelques indications qui ne seront compréhensibles pour d'autres  que si vous tentez à nouveau de poster l'énoncé ( horizontalement si possible !)

pour 2 c), j'ai pratiquement anticipé la réponse dans mon dernier post.

3 a) c'est une intégrale classique \(\varphi(0)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\)

3 b) il faut faire appel à la convergence dominée et trouver la fonction dominante indépendante de \(x\)

4 b) c'est quand même assez évident ! Pour prouver l'égalité demandée, il suffit de faire le changement de variable \(u=xt\)

pour montrer que \(f\) est constante, il suffit de montrer que sa dérivée par rapport à \(x\) est nulle. Le travail a été "mâché" , il suffit de combiner avec 2 c) et 4 b) , de savoir dériver sous le signe somme. La constante se trouve en calculant \(f(0)\) et en utilisant 3 a)

pour 5, en faisant \(x\rightarrow +\infty\), on va trouver que \(I^2 =\frac{\pi}{4}\) \d'où l'intégrale de Gauss \(I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 

autre remarque

la stratégie qui consiste à poster des pavés où vous demandez de l'aide de façon "homéopathique" sans proposer grand chose ne me semble pas très  porteuse de progression.  Je suppose que ces exos sont des devoirs "maison". Je serais curieux de savoir ce que cela donne en DS sans aucun aide. Le dernier pavé en date auquel je n'ai pas répondu était le modèle proies - prédateurs de Volterra, un grand classique où on trouve sur le Net ou dans n'importe quel livre sur les systèmes différentiels autonomes pratiquement toutes les réponses ou du moins  des suffisantes pour répondre. Essayer de poster de vraies tentatives de solutions, même inexactes  montrant que vous avez vraiment réfléchi !  

-
Edité par Sennacherib 20 septembre 2019 à 13:40:50

Il me manque l'énoncé j'ai l'impression, mais pour le calcul de l'intégrale de Gauss, il me semblait que la fonction à étudier était :

\[x\mapsto\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{-x^2\,\left(1+t^2\right)}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\]

que l'on dérivait ensuite par théorème de dérivation sous le signe \(\int\) (j'adore cet exo ! :D). Bien que je n'ai pas fais les calculs, il manque tout de même un carré par rapport à ce à quoi je m'attendais ! À moins qu'il n’apparaisse dans la partie de l'énonce qu'il me manque ?

Edit : j'avais oublié le \(\mathrm{d}t\) 

-
Edité par BunshinKage 20 septembre 2019 à 11:46:33

BunshinKage a écrit:

 Bien que je n'ai pas fais les calculs, il manque tout de même un carré par rapport à ce à quoi je m'attendais ! À moins qu'il n’apparaisse dans la partie de l'énonce qu'il me manque ?

Edit : j'avais oublié le \(\mathrm{d}t\) 

-
Edité par BunshinKage il y a environ 1 heure

il y a un exo  avec \(x\) et non \(x^2\). Les deux démarches sont similaires moyennent quelque changement de variables. Il manque effectivement l'énoncé que j'ai demandé de poster. J'ai l'énoncé  complet par MP 

Merci !

J'ai tout compris, mais je n'ai toujours pas réussi la 2.b... Alors comment faire cette question 2.b ?

C'est pour demain matin...

pour prouver l'inégalité, il faut prendre la peine de calculer explicitement \(\varphi(x+h)-\varphi(x)\) soit 

\(I(x)=\int_0^1(\frac{e^{-(x+h)(1+t^2)}}{1+t^2} - \frac{e^{-x(1+t^2)}} {1+t^2})dt \) et après mise en facteur 

\(I(x)=\int_0^1(\frac{e^{- x  (1+t^2)}}{1+t^2}( e^{- h (1+t^2)}  -1)dt\) .On applique l'inégalité (1) avec  \(u=-h(1+t^2)\), d'où 

\(e^{-h(1+t^2)}-1 \leq h(1+t^2)+eh^2(1+t^2)^2\) que on multiplie par\( \frac{e^{- x  (1+t^2)}}{1+t^2} \) terme positif, sans changer l'inégalité . L'intégration conservant l'inégalité , on tombe sur le résultat cherché 

attention, j'ai quand même un doute   sur ma "preuve" parce que je n'utilise pas l'hypothèse "bizarre" \(\vert h\vert \leq 1/2 \)

-
Edité par Sennacherib 22 septembre 2019 à 16:08:23

Merci beaucoup Sennacherib, grâce à vous j'ai réussi et compris ce sujet.

Merci !!!

J'ai désormais posté un autre sujet, mais c'est beaucoup plus rapide, ce sont des petits exercices !