Bonjour tout le monde,

Voici une intégrale que j'ai un peu de mal à calculer (Wolframalpha aussi! ).
<math>\(\int_0^1 \ln(x)^n dx\)</math>

J'ai essayé l'intégration par parties, sans succès... Une astuce?
Merci.

PS: Le résultat qu'on est censés trouver: <math>\((-1)^n n!\)</math>

As tu essayé par récurrence ?

Et continue d'essayer avec l'intégration par partie parce que c'est très certainement ce qu'il faut faire :
Pose <math>\(I_n=\int_0^1\ln^n(x)dx\)</math>, et essaye de faire apparaitre <math>\(I_{n-1}\)</math>. Ça devrait te donner une relation de récurrence entre <math>\(I_n\)</math> et <math>\(I_{n-1}\)</math> qui te permettra de trouver la solution.
Bien sur, tu peux sauter cette étape en faisant directement le raisonnement par récurrence en utilisant le fait qu'on te donne le résultat (mais dans les deux cas, le travail à faire et le passage par l'intégration par partie sont les mêmes)

Oups, je m'étais légèrement trompé dans l'énoncé: En fait il s'agit de prouver que <math>\(\int_0^1 \ln(x)^n dx = (-1)^n n!\)</math>
La démonstration par récurrence devient alors évidente. J'ai essayé, mais je ne crois pas que j'arrive au bon résultat . Ça doit être une erreur de calcul...
Je vous met en secret le raisonnement complet, au cas où vous voudriez bien m'aider à trouver l'erreur :

Ta liste de calculs est presque illisible, il doit manquer des parenthèses et des crochets.

Sinon, première remarque : le début de ton hérédité est mal rédigé.
En effet, si tu supposes (je cite)

Citation

que <math>\(\int_0^1 \ln(x)^n dx = (-1)^n n!\)</math> est vrai pour tout <math>\(n \geq 0\)</math>

, tu n'as aucun travail à faire car tu supposes que c'est déjà vrai partout. Il faut plutôt dire que tu supposes que il existe <math>\(n\geq0\)</math> tel que <math>\(\int_0^1 \ln(x)^n dx = (-1)^n n!\)</math>

Ensuite, je ne comprend pas vraiment ton histoire de substitution, donc tu m'as perdu dès la première ligne

Si on pose <math>\(I_{n+1}=\int_0^1\ln(x)^{n+1}dx\)</math>, on peut essayer d'intégrer par partie. Le tout est de savoir quoi "primitiver" et quoi dériver. Ici, on veut passer de <math>\(\ln^{n+1}\)</math> à <math>\(\ln^n\)</math>, on va donc dériver <math>\(\ln^{n+1}\)</math>, la seule chose que l'on peut alors "primitiver", c'est la constante <math>\(1\)</math>.
On pose donc <math>\(u(x) = \ln^{n+1}(x)\)</math> et <math>\(v'(x) = 1\)</math>, qui nous donne <math>\(u'(x) = \frac{n+1}{x}\ln^n(x)\)</math> et on choisit comme primitive de <math>\(v'\)</math> la fonction <math>\(v : x \mapsto x\)</math>.

L'intégration par partie nous donne alors :
<math>\(I_n = [u(x)v(x)]_0^1 - \int_0^1u'(x)v(x)dx\)</math>
A partir de là, et en utilisant l'hypothèse de récurrence et le fait que pour tout <math>\(n\geq0,\ \lim_{x\rightarrow0}x\ln^n(x) = 0\)</math>* , ça ne devrait pas être trop dur de conclure.

Remarque : Si on voulait rédiger proprement, il faudrait considérer des intégrales allant de <math>\(\varepsilon\)</math> à <math>\(1\)</math> et de faire tendre <math>\(\varepsilon\)</math> vers <math>\(0\)</math> après l'intégration par partie.

* J'ai un léger doute sur la justification de cette limite.

Citation : rushia

* J'ai un léger doute sur la justification de cette limite.

Peut-être en posant X=ln(x) et en utilisant les croissances comparées

Ça donnerait :
<math>\(X=\ln(x)\)</math>, <math>\(x=e^X\)</math> et <math>\(x\ln^n(x) = X^ne^X\)</math>
et <math>\(x \rightarrow 0\)</math> correspond à <math>\(X \rightarrow -\infty\)</math>
or par croissance comparée on a <math>\(\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{X \to -\infty} X^n\,e^X = 0\)</math>
donc ça marche ^^.
Merci bien, ça me perturbait cette histoire

Citation : rushia

Il faut plutôt dire que tu supposes que il existe <math>\(n\geq0\)</math> tel que ...

Non plus, il faut dire : soit un entier <math>\(n\geq0\)</math> tel que ..., ou supposons que pour un entier <math>\(n\geq 0\)</math> on ait...

Est-ce qu'il y a vraiment une différence ?

Si tu supposes <math>\(\exists n \in \mathbb N, P(n)\)</math> et que tu montres <math>\(P(n+1)\)</math>, finalement tu auras montré <math>\(\exists n \in \mathbb{N}, P(n) \text{ et } P(n+1)\)</math> et non pas <math>\(\forall n \in \mathbb N, P(n) \Longrightarrow P(n+1)\)</math>.

(Bon, je suis d'accord qu'on s'en fout un peu, on comprendra quand même ce que tu voulais dire)

Beaucoup plus naturel comme raisonnement (à mon sens) : commencer par chercher s'il n'y a pas un changement de variable quivabiencommeilfaut.
Et c'est le cas, si tu fais le changement de variable <math>\(\phi : x \mapsto exp(x)\)</math> (qui est très naturel ici ...), puis un second changement de variable <math>\(x \mapsto (-x)\)</math> (on pourrait faire directement un seul CdV mais cela ne correspondrait pas vraiment à l'intuition) on obtient <math>\((-1)^{n} \int_0^{+\infty} x^n exp(-nx) dx\)</math>.

Et là c'est quasiment gagné, on voit tout de suite qu'il va falloir faire <math>\(n\)</math> intégrations par partie successives, que les bornes sont gentilles et que tout va bien se passer, que le <math>\(n!\)</math> sort naturellement des <math>\(n\)</math> IPPs qui vont tuer le terme polynomial., qu'un <math>\((-1)^n\)</math> apparaît, que les "crochets" de l'IPP seront nuls vu les bornes etc. A vrai dire avec un peu de bouteille, l'exercice est fini à ce moment là.

C'est peut-être plus facile de passer par là, que de voir la récurrence par IPP sur les logarithmes.

Citation : krosian

Si tu supposes <math>\(\exists n \in \mathbb N, P(n)\)</math> et que tu montres <math>\(P(n+1)\)</math>, finalement tu auras montré <math>\(\exists n \in \mathbb{N}, P(n) \text{ et } P(n+1)\)</math> et non pas <math>\(\forall n \in \mathbb N, P(n) \Longrightarrow P(n+1)\)</math>.

(Bon, je suis d'accord qu'on s'en fout un peu, on comprendra quand même ce que tu voulais dire)

Ça se tient

Citation : Aladix

Et là c'est quasiment gagné, on voit tout de suite qu'il va falloir faire <math>\(n\)</math> intégrations par partie successives, que les bornes sont gentilles et que tout va bien se passer, que le <math>\(n!\)</math> sort naturellement des <math>\(n\)</math> IPPs qui vont tuer le terme polynomial.,

Oue cool, au lieu de faire juste une récurrence avec une IPP, on fait 2 CdV, et 1 récurrence avec une IPP (le n! il sort pas de n'importe où et pour le justifier, tu as besoin ... d'une récurrence). Travailler plus... pour arriver au même résultat ; j'adhère !

Surtout que de mon point de vue, avoir un <math>\(\ln^n\)</math> qui va faire apparaitre après dérivation un <math>\(\ln^{n-1}\)</math> et un <math>\(\frac{1}{x}\)</math> qui disparaitra grâce au <math>\(x\)</math> que donnera l'intégration de <math>\(1\)</math>, ça me semble tout aussi naturel et intuitif (on voit bien qu'on retombera plus ou moins sur l'intégrale de départ à un facteur près et avec <math>\(n-1\)</math> au lieu de <math>\(n\)</math>).

Merci à tous, j'ai finalement utilisé le raisonnement de rushia, qui était le plus simple à calculer. Et je précise que en ce qui concerne la rédaction du début de l'hérédité, il ne faut pas trop y faire attention dans ce cas: au final ce sera rédigé en néerlandais, et je sais comment ça se dit en hollandais, ce que j'ai écris en français n'était qu'un vague souvenir de terminale .

Citation : Aladix

Beaucoup plus naturel comme raisonnement (à mon sens) : commencer par chercher s'il n'y a pas un changement de variable quivabiencommeilfaut.
Et c'est le cas, si tu fais le changement de variable <math>\(\phi : x \mapsto exp(x)\)</math> (qui est très naturel ici ...), puis un second changement de variable <math>\(x \mapsto (-x)\)</math> (on pourrait faire directement un seul CdV mais cela ne correspondrait pas vraiment à l'intuition) on obtient <math>\((-1)^{n} \int_0^{+\infty} x^n exp(-nx) dx\)</math>.

Et là c'est quasiment gagné, on voit tout de suite qu'il va falloir faire <math>\(n\)</math> intégrations par partie successives, que les bornes sont gentilles et que tout va bien se passer, que le <math>\(n!\)</math> sort naturellement des <math>\(n\)</math> IPPs qui vont tuer le terme polynomial., qu'un <math>\((-1)^n\)</math> apparaît, que les "crochets" de l'IPP seront nuls vu les bornes etc. A vrai dire avec un peu de bouteille, l'exercice est fini à ce moment là.

C'est peut-être plus facile de passer par là, que de voir la récurrence par IPP sur les logarithmes.

C'est certain si tu n'as pas la réponse à trouver de donnée. Mais en l'occurrence il savait le résultat, donc pas besoin de chercher une solution comme celle-ci.

PS : d'ailleurs pourquoi tu as un n dans ton exponentielle ? Et aussi changer x en -x c'est pas très intuitif dans ce cas là, les signes apparaîtront tout seuls dans l'IPP

A chacun sa manière de raisonner !
PS : le n dans l'exp est une erreur de frappe ... désolé.