Bonjour, 

Je voudrais comprendre le lien ou l'interprétation géométrique entre une primitive et sa dérivée ? pourquoi par exemple  une  X^3  devient une 3 X^2 , comment pourrait t on expliquer cela d'une façon géométrique  ou dérouler la cinématique d'un tel phénomène ?  j'ai beau cherché et suis tombé sur l'exemple de la vitesse et la distance mais toujours pas si clair. Si vous avez des explications ou des liens vers des cours n'hésitez pas à me faire part, je vous remercie d'avance.

Cordialement 

Bonjour,

Je pense que tu cherches au mauvais endroit. L'interprétation communément retenue pour le lien fonction-dérivée (attention : le lien entre la primitive et la dérivée est la fonction elle-même : la dérivée de la primitive est la fonction, par définition) est que la dérivée d'une fonction correspond au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative de la fonction considérée et ce en tout point où elle est dérivable.

Donc ta question revient à : pourquoi la pente de la tangente à \(x \mapsto x^3\) est-elle précisément donnée par \(x \mapsto 3x^2 \) et pas autre chose ? Et bien parce que c'est ce que donne le calcul du taux d'accroissement généralisé à la fonction entière (à tout \(x \in I\) où \(I\) est l'intervalle d'intégrabilité de la fonction).

Il n'y a donc pas vraiment d'explication géométrique directe à donner (par exemple la dérivée de l'exponentielle est elle-même... pourquoi est-elle différente des autres ? Géométriquement on dirait pas...). Par contre il y a un lien très fort entre dérivation et nombres complexes. En effet dans le repère complexe, dériver est analogue à effectuer une rotation de \(\frac{\pi}{2}\), multiplier par \(e^{i\frac{\pi}{2}} = i\). Donc en considérant le repère complexe, dériver revient à faire une rotation (et intégrer à effectuer l'anti-rotation associée). Si cela t'intéresse, il y a pas exemple le calcul d'impédances complexes en électricité qui a recours à cette technique. C'est notamment très efficace pour le calcul et la résolution d'équations différentielles.

Pour ce qui est du lien entre une fonction et sa primitive, il n'y en a aucun géométrique (à part que la fonction est la dérivée de sa primitive, mais sa primitive ne représente rien pour elle). En fait c'est un joyeux hasard si on a recours à des primitives (ie. des fonctions de leur dérivée est la fonction considérée à la base) qui découle du théorème fondamental de l'analyse. En effet, en considérant l'intérale \(F\) d'une fonction \(f\) (intégrable ça va de soi), on constate en calculant le taux d'accroissement de \(F\) qu'elle est de classe \(C^1\) et que, de plus, pour tout \(x\) de l'intervalle d'intégration, \(F' = f\).

Tu remarqueras donc qu'à chaque fois, le lien géométrique découle du calcul du taux d'accroissement (qui correspond grosso-modo à l'analyse infinitésimale d'un point choisi). Pour approfondir tes recherches, je te conseille donc de comprendre ce qu'est réellement le taux d'accroissement, puis de lire l'article sur les dérivées de Wikipedia qui est très complet et correct.

K0ala a écrit:

Pour ce qui est du lien entre une fonction et sa primitive, il n'y en a aucun géométrique (à part que la fonction est la dérivée de sa primitive, mais sa primitive ne représente rien pour elle). En fait c'est un joyeux hasard si on a recours à des primitives (ie. des fonctions de leur dérivée est la fonction considérée à la base) qui découle du théorème fondamental de l'analyse. En effet, en considérant l'intérale \(F\) d'une fonction \(f\) (intégrable ça va de soi), on constate en calculant le taux d'accroissement de \(F\) qu'elle est de classe \(C^1\) et que, de plus, pour tout \(x\) de l'intervalle d'intégration, \(F' = f\).

C'est marrant, dans un même paragraphe, tu arrives à dire qu'il n'y a pas de lien géométrique entre une fonction et sa primitive, tout en citant l'intégrale. Pour moi, l'intégrale est justement le parfait exemple de lien géométrique entre une fonction et ses primitives...

Ah bon ? À quel niveau ? Parce que moi, quand on me dit qu'une fonction admet une infinité de primitives, j'ai du mal à comprendre comment elles peuvent toutes avoir le même lien géométrique avec la fonction intégrée.

Plus précisément, l'intégrale est effectivement liée géométriquement à la fonction en terme d'aire, mais pas les primitives (qui ne sont qu'un outil pour calculer les intégrales). Ce sont deux choses absolument différentes, ce qui me pousse à camper sur ma position en affirmant toujours qu'il n'y a pas de lien géométrique entre une fonction et (l'une de ses) sa primitive. En effet si tu dérives une intégrale sur un segment, tu auras bien du mal à retomber sur la fonction intégrée sur ledit segment.

Et c'est encore plus frappant lorsque tu intègres sur un intervalle puisqu'à la limite, en suivant ton raisonnement, on pourrait dire que l'intégrale est la différence de deux valeurs (dont une limite) prises par une primitive donnée, sauf que certaines primitives te donneront de belles FI, alors qu'en choisissant une constante appropriée ça passe... Plusieurs fonctions pour le même résultat ? Mouais.

Edit : autre argument ; les IPP. Tu peux aussi calculer ton intégrale à l'aide de plusieurs primitives, qui séparées n'ont rien à voir avec la fonction mais qui sommées donnent la bonne aire. C'est vrai que géométriquement, si je te demande l'aire sous entre la courbe de \(t \mapsto e^(-t)t^{n}dt\) tu vas direct me répondre \(n!\), et tu auras raison (lien géométrique, déjà là ?!). Puis je te répondrais que tu viens effectivement de me donner la valeur de l'intégrale de cette fonction sur \(\mathbb{R}_+^*\), mais certainement pas une primitive, puisque d'ailleurs le seul lien qu'on peut dresser géométriquement c'est une relation de récurrence.

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Edité par K0ala 19 septembre 2013 à 16:55:44

Je te poste un truc que j'avais posté il y a assez longtemps maintenant, qui est une explication un peu plus physique de ce qu'est une intégrale, à partir des notions de distance et vitesse, j'espère que ça t'aidera:

Si tu roules à une vitesse v pendant un temps t, tu sais que la distance parcourue est:

Maintenant si tu roules à une vitesse v1 pendant un intervalle de temps Δt1 et ensuite à la vitesse v2 pendant un temps Δt2, quelle est la distance parcourue? La distance sera égale à:

Mais cette formule ne s'applique que si ta vitesse est constante. Maintenant, imaginons une pierre qui tombe. Son mouvement n'est pas à vitesse constante, il est accéléré. En fait, sa vitesse est proportionnelle au temps de chute: au bout d'une seconde, sa vitesse est v1, au bout de 2s sa vitesse est 2v1, au bout de 3s, 3v1 ...
On peut représenter la vitesse en fonction du temps par la fonction

avec a l'accélération (qui est constante)
Maintenant, quelle est la distance parcourue par la pierre? On ne peut plus utiliser la formule plus haut.
Eh bien, on va tricher un peu: considérons que la vitesse ne croît plus uniformément, mais par palier. Nous allons donc diviser le temps en petits morceaux et considérer que sur chaque morceau, la vitesse est constante, comme sur le schéma ci-dessous (courbe jaune):

On divise donc le temps en morceau égaux, disons de 0.5s chacun. Sur cet intervalle, on considère une vitesse constante, puis, au bout des 0.5s, on considère que la vitesse "saute" à la vitesse qu'elle atteint réellement au bout de ce temps-là, puis elle reste à nouveau constante et ainsi de suite...
On peut maintenant calculer la distance parcourue pendant chacun de ces intervalles de temps:

• de 0 à 0.5s: la vitesse vaut 0, donc la distance parcourue est nulle.
• de 0.5s à 1s: la vitesse vaut 1, donc la distance parcourue vaut 0.5 * 1
• de 1s à 1.5s: la vitesse vaut 2, donc la distance parcourue vaut 0.5 * 2

et ainsi de suite...

Comment peut-on connaître la distance totale? Tout simplement en additionnant toutes les distances obtenues.
Si on appelle Δt notre intervalle de temps, et v0 , v1 ,... les vitesses à chaque intervalle de temps, on a:

d=v0×Δt+v1×Δt+v2×Δt+...+vn×Δt
d=(v0+v1+v2+...)×Δt

que l'on peut écrie sous la forme:

(c'est une notation pour simplifier l'écriture d'une somme de plusieurs termes. Elle signifie : somme pour i allant de 0 à n de tous les vi.)
Nous nous en doutons, la distance que nous obtenons est inférieure à la distance réellement parcourue, car on a considéré des vitesses toujours inférieures à la vitesse réelle.
Comment peut-on améliorer la précision de notre calcul? Tout simplement en réduisant Δt. En effet, on peut remarquer que si Δt diminue, on augmente la précision du calcul, vu que les vitesses considérées seront plus proches de la vitesse réelle.

En fait, on va considérer des intervalles de temps infiniment petits. On va utiliser ce qu'on appelle la notation différentielle (inventée par Leibniz):

• On note cet intervalle infiniment petit dt (au lieu de Δt).
• Pour noter la somme, on va utiliser ce symbole: ∫. Il s'agit en fait d'un "s long", qui était utilisé à la place de notre "s" en ancien français.
• Et pour chaque intervalle, que vaut vi? Eh bien, pour tout instant t, il vaut v(t).

Notre formule de distance devient donc:

d=∫tn0v(t)dt

Et c'est ce qu'on appelle une intégrale. (Ce mot a été inventé par Jacques Bernouilli: cette formule permet de calculer la somme de tous les v(t), donc de l'intégralité des vitesses atteintes successivement par la pierre)

Le lien avec les surfaces

Remarquons une chose: que représentent toutes ces distances que l'on additionne?

On voit que chaque distance calculée correspond graphiquement à l'aire du rectangle correspondant.

Que se passe-t-il alors si on réduit Δt ? L'aire calculée devient égale à l'aire de la surface sous la courbe de la vitesse, entre 0 et l'instant considéré.
Voilà un résultat fondamental: 

L'intégrale d'une fonction entre deux points est l'aire de la surface sous la courbe représentant cette fonction, entre ces deux points.

Nous voyons que l'aire sous la courbe entre 0 et t évolue en fonction de t. Cette fonction, si on arrive à trouver son expression, est appelée primitive de f(t). On la note F(t), avec un grand F.

Cas particulier:

Dans notre cas, on peut calculer cette primitive. Elle représente l'aire sous la courbe, or la surface sous la courbe de la vitesse est un triangle rectangle, avec une base égale à t et une hauteur égale à v(t)=at.
Son aire vaut donc:
A(t)=12v(t)×t

A(t)=12at2

On a donc:
Si v(t)=at, alors d(t)=12at2
nous avons donc réussi à calculer une primitive.
Si f(x)=ax, alors F(x)=12ax2

Après il y a l'histoire de la constante, mais je passe

(En passant, on a aussi obtenu un résultat physique: la distance parcourue par un objet en chute libre est proportionnelle au carré du temps de chute.)

hazdrubal a écrit:

[...] Dans notre cas, on peut calculer cette primitive. Elle représente l'aire sous la courbe, [...]

Pourquoi dire ceci alors que :

- "l'aire sous la courbe" ne veut rien dire si tu ne mentionnes aucun intervalle, ni si la courbe prend des valeurs négatives.

- la primitive ne représente pas l'aire sous la courbe (si tu traces la primitive tu ne verras pas un triangle) ; c'est une différence de deux valeurs prises par la primitive (en les bornes de l'intervalle d'intégration précisément, d'où l'utilité/nécessité de le mentionner), et c'est entre autre pourquoi cette dernière n'a aucune signification particulière puisqu'une infinité de fonctions peuvent remplir ce critère sans pour autant être des primitives de la fonction.

Aussi :

hazdrubal a écrit:

L'intégrale d'une fonction entre deux points est l'aire de la surface sous la courbe représentant cette fonction, entre ces deux points.

Ceci fait écho à mes deux points de remarque ; c'est mal dit et faux dès que la courbe devient un poil plus quelconque, et vu que ta définition ne le précise pas, elle devient fausse. La définition rigoureuse d'une intégrale sur intervalle quelconque est précisément :

- une fonction \(f\) positive est dite intégrable sur l'intervalle \(I\) si l'ensemble \(\{ \int_a^b f(t) dt / [a,b] \subset I \}\) est majoré. Si tel est le cas, alors on appelle intégrale de \(f\) et on note \( \int_a^b f(t) dt \) le plus petit des majorants de cet ensemble. Ceci est la définition de l'intégrale et a fortiori de l'aire considérée entre la courbe et l'axe des abscisses (et non pas "en dessous" qui est beaucoup trop réducteur). Nul part n'est mentionnée la notion de primitive.

- si \(f\) est une fonction qui change de signe, on peut au choix définir deux fonctions positives \(f^+\) et \(f^-\) telles que \(f = f^+ - f^-\) ou bien considérer \(|f|\). En effet, il y a équivalence entre :

• \(f\) est intégrable ;
• les fonctions positives \(f^+\) et \(f^-\) sont intégrables ;
• la fonction positive \(|f|\) est intégrable.

Et on se ramène alors au point précédent.

Du coup ton post constitue une bonne contextualisation physique (il est clair par ailleurs) mais il dresse encore un contre-argument pour les fonctions quelconques... et on ne peut pas calculer explicitement les primitives d'énormément de fonctions... Que doit-on tirer comme lien géométrique, dès lors ?

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Edité par K0ala 19 septembre 2013 à 18:10:01

PS: désolé, problème lors du copier-coller d'un paragraphe contenant des formules (perte des indices/exposants, des barres de fraction) et impossible de rééditer proprement. A la fin il faut lire 1/2 ax² à la place de 12ax2

A la place de d=∑ni=0vi×Δt, il faut lire \(d = \sum_{i = 0}^n \ v_i \times \Delta t\)

et au lieu de d=∫tn0v(t)dt

\(d = \int_0^{t_n}v(t) dt\)

 Je viens de voir les explications précédentes, c'est d'un niveau plus élevé,attendons de voir le niveau qui était attendu par le PO.

EDIT: réponse à KOala: effectivement, mon post est plus physique que mathématique, et je me souviens que je l'avais posté pour un élève de cinquième qui voulait savoir ce qu'était une intégrale, donc oui, j'ai laissé de coté la rigueur pour l'expliquer avec les mains. Je parlais de l'intégrale façon Newton et Leibniz, tel qu'on le voit en terminale (d'ailleurs je vois que le PO a 19 ans), 

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Edité par hazdrubal 19 septembre 2013 à 18:27:38

K0ala a écrit:

Ah bon ? À quel niveau ? Parce que moi, quand on me dit qu'une fonction admet une infinité de primitives, j'ai du mal à comprendre comment elles peuvent toutes avoir le même lien géométrique avec la fonction intégrée.

Plus précisément, l'intégrale est effectivement liée géométriquement à la fonction en terme d'aire, mais pas les primitives (qui ne sont qu'un outil pour calculer les intégrales). Ce sont deux choses absolument différentes, ce qui me pousse à camper sur ma position en affirmant toujours qu'il n'y a pas de lien géométrique entre une fonction et (l'une de ses) sa primitive. En effet si tu dérives une intégrale sur un segment, tu auras bien du mal à retomber sur la fonction intégrée sur ledit segment.

Et c'est encore plus frappant lorsque tu intègres sur un intervalle puisqu'à la limite, en suivant ton raisonnement, on pourrait dire que l'intégrale est la différence de deux valeurs (dont une limite) prises par une primitive donnée, sauf que certaines primitives te donneront de belles FI, alors qu'en choisissant une constante appropriée ça passe... Plusieurs fonctions pour le même résultat ? Mouais

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Edité par K0ala hier à 16:55

Hum, n'importe quelle primitive F de f vérifie que F' = f. Du coup, géométriquement, ça veut dire que le coef directeur de la tangente à F correspond à f.
Ce qui montre bien que n'importe quelle primitive à une constante près fonctionne puisqu'on est intéressé uniquement à la tangente de la primitive, d'où la non-unicité de la primitive.
De plus, le fait que la primitive représente "l'aire sous la courbe" à une constante près est encore une fois lié à cela.
Donc il y a bien un lien géométrique entre la fonction et ses primitives (si j'ai le graphe d'une fonction, je peux dessiner le graphe de ses primitives, à translations verticales près), après effectivement il faut faire un peu attention aux cas limites.