Bonjour à tous !

Quel plaisir de voir que le Site du Zéro s'étend maintenant aux sciences, ça faisait longtemps que j'y avais pas mis les pieds !

Je viens aujourd'hui pour un problème de maths que j'allais commencer à faire pour être tranquille tout le week-end, cependant... Je ne sais pas comment démarrer

Je suis en première S, et je dois prouver le théorème suivant :

Citation

Soit u une fonction définie sur D et qui ne s'annule pas sur D. Alors la fonction <math>\(g = \frac{1}{u}\)</math> est définie sur D et g a exactement les variations contraires à celle de u.

Je ne vois pas du tout comment démarrer ma preuve. Je demande pas à ce qu'on me la fasse, mais si quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer comment démarrer !

Merci d'avance

Silver.

Si la fonction <math>\(u\)</math> est croissante sur <math>\(I\)</math> un intervalle de <math>\(D\)</math>, ça veut dire que pour tout <math>\(x,y\in I, x \leq y \Rightarrow u(x) \leq u(y)\)</math>.

Maintenant, avec cette inégalité, essaie d'utilise g...

Citation : Doulilos

Si la fonction <math>\(u\)</math> est croissante sur <math>\(I\)</math> un intervalle de <math>\(D\)</math>, ça veut dire que pour tout <math>\(x,y\in I, x \leq y \Rightarrow u(x) \leq u(y)\)</math>.

Maintenant, avec cette inégalité, essaie d'utilise g...

<math>\(x,y\in I, x \leq y \Rightarrow u(x) \leq u(y)\)</math>

On utilise la fonction inverse, qui change le signe de l'inéquation.

<math>\(x,y\in I, u(x) \leq u(y) \Leftrightarrow \frac{1}{u(x)} \geq \frac{1}{u(y)} \Leftrightarrow g(x) \geq g(y)\)</math>

L'ordre est modifié, <math>\(g\)</math> est donc une fonction décroissante sur <math>\(I\)</math> un intervalle de <math>\(D\)</math>, les variations sont donc inversées puisqu'on part d'une fonction croissante pour arriver à une fonction croissante.

C'est ça ?

Oui c'est ça ! Tu fais la même chose en prenant <math>\(u\)</math> décroissante et c'est bon

Une fonction elle est soit croissante, soit décroissante (, soit constante) sur un intervalle !

Tu vois, il suffit de traduire l'énoncé en des concepts mathématiques... La fonction est croissante donc en mathématiques ça veut dire ... et après c'est simple !

Après tu fais pareil si u est décroissante.

Pour finir dans un cas plus général*, tu sépares D en différents intervalles où u est monotone.

*par exemple u pourrait être croissante puis décroissante puis croissante de nouveau, etc...

En effet, le plus dur c'est de traduire l'énoncé... Merci beaucoup en tout cas !

Citation

tu sépares D en différents intervalles où u est monotone.

Ce n'est pas forcément possible, il y a des fonctions qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes, ni constantes sur n'importe quel intervalle non réduit à un point (exemple : l'indicatrice de Q qui vaut 1 si x est rationnel, 0 sinon).

Mais ce n'est pas grave : il suffit de montrer que si u est croissante sur un intervalle I inclus dans D, alors g sera décroissante sur I. Ce que tu as fait.

A mon avis, l'énoncée suppose implicitement ici que la fonction est continue (Ca m'a tout l'air d'un exo pre-bac), j'évite donc juste de compliquer inutilement ma réponse (tu remarqueras d'ailleurs que j'ai pris la précaution oratoire de préciser "un cas plus général" et non "le cas général").

(Il existe des fonctions continues mais monotones sur aucun intervalle non-trivial )

Citation : krosian

(Il existe des fonctions continues mais monotones sur aucun intervalle non-trivial )

Sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> ?

Comme la fonction de Weierstrass ?

@Rushia : c'est un exo de 1ère S, donc oui c'est pas une fonction tordue.

Ou comme un mouvement Brownien. Autant de fonctions qui sont de toute façon très éloignées des connaissances du PO.

Certes ces fonctions sont hors du niveau du PO, c'est pour ça que j'évite de traiter ces cas en disant que si u est croissante sur I alors 1/g est décroissante sur I. Je n'utilise rien d'hors programme ni ne dit rien de faux (comme dire qu'on peut décomposer l'intervalle de def en sous intervalles tq la fonction est monotone sur chacun des intervalles) .

Edit : et en plus, le résultat est vrai sur des fonctions non continues...

Je n'ai jamais rien dit de faux (si c'est ce que tu insinues)