Bonjour.
Je suis entrain décrire un tutoriel niveau terminale, et je viens de finir ma terminale.
On vient de me dire que dans un intervalle <math>\([a;b]\)</math>; l'ordre de a et b est important.
J'ai posé la question à mon prof cette année, et il m'a dit que par convention, on écrit la plus petite valeur à gauche, mais que cela importait peu. Et on vient de me dire le contraire.

Donc je vous demande, est-ce que :

<math>\([a;b] \Leftrightarrow [b;a]\)</math>.

Bonjour,

D'après mes souvenirs, on définit un intervalle par : <math>\([a;b] = \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \}\)</math> ( à adapter en fonction du type de l'intervalle ).
Donc on a obligatoirement <math>\(a \leq b\)</math>, sinon on obtient un ensemble vide ou ramené à un seul élément.

D'accord. Merci . D'autre personne pense pareil ?

Salut,

Effectivement la convention est d'écrire la borne inférieure de l'intervalle à gauche et la borne supérieure à droite.

Si <math>\(b<a\)</math>, il serait amusant, joli et peut-être pertinent dans certains contextes de définir l'intervalle <math>\([a,b]\)</math> comme étant l'ensemble qui contient -1 fois chacun des nombres compris entre <math>\(b\)</math> et <math>\(a\)</math>. Évidemment il faudrait définir des « ensembles généralisés » pour autoriser ce genre de choses. Ce qui est sûr en tout cas c'est que ça n'a rien de conventionnel et donc a priori pas à mettre dans ton tuto. C'était juste une idée comme ça...

Bonjour,

Ton prof a peut être simplement voulu dire que cela n'avait pas d'importance mathématiquement , si tu restais ensuite cohérent avec ce choix dans tout ce que tu écris.
Mais la convention choisie est tellement universelle qu' écrire ponctuellement l'inverse ne peut que conduire à des erreurs .

Pour éviter les problèmes, on peut toujours écrire <math>\([ \min\{a,b\}, \max\{a,b\}]\)</math>

Ça dépend, le problème c'est quand tu sais pas si a<b ou l'inverse et que tu dois considérer l’intervalle délimitée par a et b. Si t'as envie de te faire chier oui tu vas écrire l’intervalle machin ou l’intervalle truc. Après je pense pas que ça dérange beaucoup de gens si tu écris que [a,b] sans considération de l'ordre de a et b.

Par exemple si j'écris le théorème de Taylor-Lagrange je vais dire il existe un réel c dans ]a,b[ tel que f(b)=f(a)+... J'ai pas envie d'écrire deux fois la même chose pour faire plaisir à deux trois puritains ...

Tout dépend où tu te places. Si tu es dans <math>\((\mathbb R, <)\)</math> c'est-à-dire dans <math>\(\mathbb R\)</math> en tant qu'ensemble ordonné, alors <math>\([a,b]\)</math> représente l'intervalle <math>\(\{x \in \mathbb R | a \leq x \leq y \}\)</math>.

En revanche, si tu te places dans l'espace affine <math>\(\mathbb R\)</math> sur le corps ordonné <math>\(\mathbb R\)</math> sans autre considération, alors <math>\([a,b]\)</math>, comme dans tout espace affine, représente le segment fermé d'extrémité a et b, c'est à dire <math>\(\{ a + t(b - a) | t \in [0,1] \}\)</math> (ici, <math>\([0,1]\)</math> est l'intervalle , pas le segment).

Le mieux est donc, si le contexte ne permet pas de le déterminer à coup sûr, de préciser si l'on parle de l'intervalle ou du segment. Pour <math>\(b > a\)</math>, l'intervalle <math>\([b,a]\)</math> vaut <math>\(\emptyset\)</math> tandis que le segment <math>\([b,a]\)</math> est égal au segment <math>\([a,b]\)</math>.