Bonjour à tous ! C'est ma première chez les zéro scientifiques ! Ca fait plaisir !

Voilà, je viens pour que vous m'aidier à comprendre la magie des exposants. Je suis en 4ème, et depuis que j'ai fait des maths, j'ai toujours aimé tout comprendre, pour quoi ca fait ca, etc.
Mais j'attaque les exposants, et je suis un peu perdu...


Premièrement :

<math>\(A0 = 1\)</math> (je ne crois pas qu'on puisse mettre des exposants, mais c'est bien a exposant 0. Si c'est possible, dites-moi comment on fait)


Mon prof de 5eme avait un petit tour bref sur le sujet, et je me souviens qu'il m'avait expliqué pourquoi. Mais j'ai oublié, et lorsque j'ai demandé à ma prof de 4eme, elle m'a demandé que c'était une convention, et qu'il fallait l'appliquer, pas la comprendre...


Ensuite, la deuxième chose, c'est l'exposant négatif :



<math>\(A-2 = 1/A2\)</math>(même remarque que la dernière fois : A-2 = a exposant -2 Je comprends vraiments pas du tout. Déjà, rien que le fait qu'on puisse multiplier un nombre par lui-même moins deux fois me paraît bizarre, mais là ça l'est encore plus. Quelqu'un pourrait-il essayer de m'expliquer, d'une autre manière qu'en me disant que c'est une convention

Voilà, merci d'avance !

Déjà, pour mettre un exposant avec le zcode, il faut écrire <*math>a^2<*/math> (sans les astérisques).

Ensuite, en ce qui concerne les propriétés des exposants, en voici quelques unes à retenir :

• par convention, <math>\(a^0=1\)</math>
• pour tout réel a, <math>\(a^n=\underbrace{a \times a \times... \times a}_{n fois}\)</math>
• pour tout nombre a non nul et n, un entier naturel : <math>\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)</math>

Il y a également des opérations sur les exposants, qu'il peut être utile de connaître :

• <math>\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)</math>
• <math>\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)</math>
• <math>\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)</math>
• <math>\(\left( \frac{a}{b} \right)^n= \frac{a^n}{b^n}\)</math>
• <math>\((a^m)^n=a^{m \times n}\)</math>

Pour mettre un exposant dans le zcode, il faut faire A^{0} ou plus simplement A^0. Plus d'infos ici

Pour ce qui est des exposants, il faut tout d'abord savoir que l'inverse d'un nombre noté par exemple <math>\(\frac{1}{2}\)</math> peut aussi s'écrire <math>\(2^{-1}\)</math>. Du coup si l'on a l'inverse de "deux au carré", soit <math>\(\frac{1}{2^2}\)</math> on peut aussi l'écrire <math>\(2^{-2}\)</math>, car c'est en fait <math>\((2^2)^{-1}\)</math>.
(Les exposants se multiplient)

On peut essayer de voir ça comme ça :
Il faut connaitre cette propriété des puissances : <math>\(a^{n+m}=a^na^m\)</math>
Du coup, on comprend tout de suite les conventions :

• <math>\(a^n=a^{0+n}=a^0a^n\)</math>, si on simplifie par <math>\(a^n\)</math>, on obtient bien <math>\(a^0=1\)</math>.
• <math>\(1=a^0=a^{n-n}=a^na^{-n}\)</math> d'où <math>\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)</math>

Merci pour le zcode, pour les exposants. Mais là, tu ne réponds pas vraiments à ma question. Je connais ces conventions, mais j'aimerais en connaître l'origine.

PS : test : <math>\(a^4\)</math>

PS 2 : Comment tu fais une fraction, on sait jamais, si je reviens sur ce site.

Edit : Excusez-moi, je n'avez pas vu tous les messages quand j'ai posté. Rushia, merci, grâce à toi, j'ai parfaitement compris l'histoire du a^0 = 1. D'ailleurs, petite question. C'est vrai même si a = 0 ?

Gr3n@d1n3 : Merci de ta ton aide. Mais je connais toutes ces formules, il s'agit de développement, non ? Enfin, pas vraiment, je sais comment appeler ca, mais je le savais. Moi, ce que j'aimerais, c'est la preuve de toutes ces égalités.

Voici ton bohneur

Mais il me semble quand même avoir quelque peu justifier les valeurs des puissances nulle et négatives.

Wahou ! C'est bien compliqué. J'essaierais de lire ca, mais ne vous attendait pas à ce que j'écrive parfaitement d'ici ce soir. Mais je le lirais, vous en faites pas

Et effectivement, tu as détaillé. Pourquoi vais-je chercher la réponse plus loin... Merci beaucoup de ta part !

Pour faire un peu mon pinailleur sur les réponses précédentes, personnellement je n'aime pas trop qu'on parle de « convention » pour la règle <math>\(a^0=1\)</math>. Dire que c'est une convention laisse penser qu'il s'agit d'un choix et que finalement on aurait pu faire un autre choix. Or ce n'est pas le cas : <math>\(a^0=1\)</math> s'impose, c'est logique et il ne pourrait pas en être autrement.

J'aime bien l'expliquer de la façon suivante. Commençons par les exposants positifs puisque c'est cela qu'on connait au départ. <math>\(a^n=a\times a\times ...\times a\)</math> (n fois). Dressons un tableau des premières puissances par exemple pour <math>\(a=3\)</math> :

<math>\(a^1\)</math>	<math>\(a^2\)</math>	<math>\(a^3\)</math>	<math>\(a^4\)</math>	<math>\(a^5\)</math>	<math>\(...\)</math>
3	9	27	81	243	...

Et on pourrait continuer comme ça indéfiniment vers la droite. La question que tu poses, c'est que se passe-t-il à la gauche du tableau, comment faire pour <math>\(a^0\)</math>, <math>\(a^{-1}\)</math> et ainsi de suite si on veut descendre dans les exposants négatifs ?

Pour répondre à cette question, il est intéressant de remarquer quelque chose dans le tableau : quand on passe d'une case à la case qui est à sa droite, on multiplie par 3 (normal puisqu'il y a un 3 de plus dans la multiplication). Et forcément dans l'autre sens si on passe d'une case à la case à gauche, on divise par 3.

Et ça, ça nous permet de completer ce qu'on cherche : pour passer de <math>\(a^1\)</math> à <math>\(a^0\)</math>, on divise par <math>\(a\)</math> (3 dans l'exemple) et on trouve... 1.

Si on continue, on redivise encore par <math>\(a\)</math> et on trouve 1/3 (ou <math>\(1/a\)</math>) dans le cas général.

En continuant on se rend compte alors que la règle est bien celle ci : <math>\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)</math>. Et le tour est joué.

<math>\(a^{-2}\)</math>	<math>\(a^{-1}\)</math>	<math>\(a^0\)</math>	<math>\(a^1\)</math>	<math>\(a^2\)</math>	<math>\(a^3\)</math>	<math>\(a^4\)</math>	<math>\(a^5\)</math>	<math>\(...\)</math>
1/9	1/3	1	3	9	27	81	243	...

Merci beaucoup !!!

C'était le petit plus qu'il me manquait pour comprendre. Merci beaucoup à toi et Russia, à vous deux, vous m'avez expliqué tout ce que je voulais savoir !

Cette question est un peu passé à l'as ...

Citation : gasasaa

D'ailleurs, petite question. C'est vrai même si a = 0 ?

Pour a=0, on prend aussi la convention que 0^0=1, mais la (les) justifications de la logique derrère tout ça sont loin d'être simples (oui, je pense que tu as bien vu qu'il y a un vrai problème avec a=0.... effectivement, on ne peut pas diviser par 0!).

Un article intéressant sur le sujet (mais, extrèmement au dela de ton niveau ...) : http://forums.futura-sciences.com/math [...] ir-0-0-a.html

Citation : sebsheep

Cette question est un peu passé à l'as ...

Citation : gasasaa

D'ailleurs, petite question. C'est vrai même si a = 0 ?

Pour a=0, on prend aussi la convention que 0^0=1, mais la (les) justifications de la logique derrère tout ça sont loin d'être simples (oui, je pense que tu as bien vu qu'il y a un vrai problème avec a=0.... effectivement, on ne peut pas diviser par 0!).

Un article intéressant sur le sujet (mais, extrèmement au dela de ton niveau ...) : http://forums.futura-sciences.com/math [...] ir-0-0-a.html

Merci à toi ! Je suis allé un peu voir sur le site, et je confirme ce que tu as toi-même dit : C'est pas de mon niveau .
Mais merci quand même, qui sait, peut-être que dans 3-4 ans, je pourrais allez le voir (même si je pense que je vais oublier )

Même dans 3 ou 4 ans, je pense pas que ce te soit très accessible... Y a beaucoup de notions post-bac dans cet article !

Je suis plus doué que tu le penses

Non, je rigole... Enfin bon, vu que je faire S, et que je vais faire plolytechniques (ca n'écrit comme ca ?), normalement, y a bien un moment où j'en serais capable.

Dis l'X, c'est plus court (sinon, c'est polytechnique)

Pour le document, la majorité est compréhensible (en se documentant un peu sur les quelques terms inconnus) des la première année de prépa.

Ouasi t'a raison

Citation

Je suis plus doué que tu le penses

Non, je rigole... Enfin bon, vu que je faire S, et que je vais faire polytechnique

Ben écoute si en 4eme t'as la certitude d'aller à l'X, effectivement, tu es plus doué que je ne le pense :p. Moi aussi quand j'étais petit je voulais faire l'X ... et puis ben en fait, j'ai voulu faire des maths

"T'a voulu faire des maths" ?

Bah, c'est ce qu'on fait dans une école d'ingénieur, non ?

Citation : sebsheep

Un article intéressant sur le sujet (mais, extrèmement au dela de ton niveau ...) : http://forums.futura-sciences.com/math [...] ir-0-0-a.html

Je ne suis pas d'accord avec cet article. Il repose sur l'idée que la notation <math>\(0^0\)</math> a une seule signification qui doit être décidée une fois pour toute. En réalité, la notation <math>\(a^b\)</math> peut désigner plusieurs opérations différentes (dont certaines listées dans l'article : en algèbre, en analyse, en théorie des ensembles...). Selon l'opération en question, <math>\(0^0\)</math> vaut 1 ou non (oui en algèbre, non en analyse). Il faut un contexte pour savoir quelle est la signification de la notation employée; ça n'a pas de sens d'essayer de répondre dans l'absolu, sans contexte.


Je pense que le délire sur l'X (en plus d'être ridicule) n'a pas sa place dans ce sujet. Si vous voulez le poursuivre, vous devriez créer un sujet à part.