salut ,
on vient d'étudier les complexes en classe et je n'arrive pas a comprendre l'interet d'imaginer un nombre innéxistant , je sais que ça sert a donner une racine a tout polynome , mais je ne voit pas a quoi ça sert parceque cette racine est imaginnaire ,
et ils disent dans un livre que les complexes étaient imaginés au déut puis il était prouvé qu'ils existent de nombreuses façons , vous avez une idée comment on a pu prouver cela ?
merci d'avance

Oui, en effet, les nombres complexes sont apparus historiquement suite à des travaux sur la résolution d'équation polynomiales, et qu'ils faisaient figures d'artifice de calcul sans avoir de réel pendant, disons, dans la nature.

Comme pour beaucoup d'objets mathématiques abstraits, les complexes ont de nombreuses applications complètement différentes de ce pour quoi ils ont été crées. Bon pêle-mêle, et sans trop de précision, je te donne quelques domaines intéressants - ce n'est pas une liste exhaustive loin de là - où on peut trouver une application intéressante des complexes:
- en électricité, optique..., en physique quoi : par exemple comme tu le verras bientôt je suppose, avec les circuits RLC.
- en géométrie, construction de fractales...
- plein d'autres choses que d'autres t'exposeront mieux que moi !

Il y a eu une discussion récente sur les nombres complexes sur ce forum, ça pourrait probablement t'éclairer.

merci , j'ai une autre question : si un phénomène physique nous
conduit a rédoudre par exemple l'equation x²=-1 on
lui donnera comme solution i , quel est la siquification de ce i
vis a vis de ce phénomène physique ?

Pose toi alors la question suivante : qu'est-ce qui existe vraiment ?


Tu demandes qu'on te prouve que les imaginaires existent on pourrait te le faire, mais pourquoi tu nous a pas demandé aussi pourquoi d'abord 1 existait ?

Normalement tu ne rencontreras pas de complexes en physique avant d'avoir obtenu ton bac. Néanmoins si cela t'intéresse tu peux te renseigner sur des notions comme l'impédance.

@L01c le 1 existe dans les mathématique parceque le 1 existe dans la vie , n'est ce pas ?
@Manuu quand j'ai parlé de i dans les physiques c'est juste pour demander le sens de la solution de l'équation x²=-1

Ha bon le 1 existe dans la vie ? et en math ?

jamais vu de 1 dans ma vie moi, tout comme j'ai jamais vu de i

tu dis que i n'existe pas, mais rien n'existe, moi j'ai jamais vu de droites, de cercles...

quand tu dis j'ai fait 1 exercice , tout le monde va comprendre , par contre quand tu dis j'ai fait i exercices personne ne te comprends.
je crois que la vrai question dont il faut donner une réponse est que veut dire que i est la solution de l'équation x² = -1

Ça veut dire que <math>\(i^2=-1\)</math>, tout simplement.
Tous les nombres complex ne servent pas à compter, dire j'ai mangé 2+3i pommes ne veut en effet rien dire, cela dit, dire que j'ai mangé <math>\(\pi\)</math> pommes ne veut pas dire grand chose non plus, et je ne suis pas certain qu'un industriel du bâtiment soit capable de me fournir <math>\(\sqrt{5}\)</math> tonnes de béton.

Lis le post donné plus haut par Elentar, il y a des choses intéressantes.
- Tout d'abord, les nombres complexes ont été inventés pour trouver des solutions (réelles) aux équations du troisième degré. (lien vers un tuto qui l'explique)

Citation : golden-b0y

si un phénomène physique nous conduit a résoudre par exemple l'equation x²=-1 on lui donnera comme solution i , quel est la siquification de ce i vis a vis de ce phénomène physique ?

Comme je l'ai dit dans l'autre post, ce qui rend les nombres complexes moins "physiques" que les nombres réels, c'est qu'ils ne peuvent pas représenter une quantité (ils ne répondent pas à la question "combien"). Même si <math>\(\pi\)</math> est mathématiquement plus "étrange" que <math>\(i\)</math>, il peut représenter une quantité physique (la longueur d'un cercle de diamètre 1 par exemple). Donc un nombre réel a une signification physique assez immédiate (aux approximations près) alors qu'un nombre complexe doit d'abord être interprété pour en retirer les observables (les résultats physiques): par exemple, il faut en extraire le module et l'argument, qui donnent l'amplitude et la phase d'une onde.

À mon avis, comprendre les nombres complexes ne demande pas un effort beaucoup plus difficile que comprendre les nombres négatifs.

En effet, suppose un instant que tu rencontres un être n'ayant connaissance que des nombres entiers positifs (autrement dit, il ne peut que représenter des quantités entières que l'on peut compter — un nombre de pommes, par exemple —, comme cela a longtemps été le cas). Saurais-tu donner un sens aux nombres négatifs ? Ce n'est pas si évident. Un tel nombre serait-il « existant » pour lui ?

Au final, l'introduction des nombres négatifs intervient parce que l'on voudrait résoudre l'équation 1+x=0. Évidemment, la solution est évidente est vaut -1. Mais pour un être qui le connait que les nombres positifs, cela n'a pas de sens. Il est donc plus commode, dans un premier temps, de percevoir -1 comme une entité abstraite ayant des propriétés abstraites. La compréhension plus fine de son sens et de sa portée vient avec l'habitude.

Le phénomène auquel tu es confronté relève du même type de travail. Ainsi, l'ensemble des nombres réels ne permet pas de trouver une solution à l'équation x²=-1. Eh bien, les mathématiciens ont décidé d'introduire une forme nouvelle de nombre, de la même manière que l'être ne connaissant que les entiers positifs doit le faire pour résoudre x+1=0. Nous notons ce nombre , et il est tel que i²=-1. Il peut sembler que cette notation est arbitraire, mais en fait ce résultat est issu d'un travail réalisé sur les nombres réels, et ne faisant intervenir que des opérations connues et parfaitement définies sur les nombres réels (multiplication et addition). Cette approche n'est, à ma connaissance, pas celle choisie au lycée, et c'est sans doute pour cette raison que les nombres complexes sont si difficiles à concevoir par les lycéens.

Sache par ailleurs que, pendant l'année, tu verras que les nombres complexes prennent du sens en géométrie, et cela t'aidera probablement à mieux saisir leur sens en algèbre. Évidemment, cela demande un effort d'abstraction et nécessite de percevoir les nombres, non plus comme des quantités mesurables, mais comme des objets abstraits ayant un certain nombre de propriétés. Avec le temps et la pratique, tu t'y habitueras et tu comprendras comment les nombres complexes sont en fait riches de sens et ne sont pas introduits par l'arbitraire des mathématiciens.

A noté qu'en physique les nombres complexe sont un outil qui permet d’alléger les calculs.

Citation : hazdrubal

Comme je l'ai dit dans l'autre post, ce qui rend les nombres complexes moins "physiques" que les nombres réels, c'est qu'ils ne peuvent pas représenter une quantité (ils ne répondent pas à la question "combien"). Même si <math>\(\pi\)</math> est mathématiquement plus "étrange" que <math>\(i\)</math>, il peut représenter une quantité physique (la longueur d'un cercle de diamètre 1 par exemple). Donc un nombre réel a une signification physique assez immédiate (aux approximations près) alors qu'un nombre complexe doit d'abord être interprété pour en retirer les observables (les résultats physiques): par exemple, il faut en extraire le module et l'argument, qui donnent l'amplitude et la phase d'une onde.

Oui, sauf qu'un cercle n'a rien de physique, c'est un pur outil mathématique, qui n'existe pas. Enfin, si quelqu'un a déjà vu un cercle (un vrai, pas une grossière approximation), qu'il se montre.

Pi n'est pas plus physique que i, sauf que son caractère non physique est beaucoup plus difficile à cerner que celui de i puisque qu'en approximation grossière, on peut l'assimiler à un rationnel. C'est ce qui me fait dire que les nombres transcendant sont bien plus difficiles à crner que les imaginaires parce que eux, on se rend compte qu'ils sont pas physique, alors que les transcendants donnent une impression de fausse réalité.

Mais enfin bon, @l'OP : regardes l'autre post, tout ça a déjà été dit.

merci souls killer ta réponse a un peu aidé.

Citation : @dri1

Oui, sauf qu'un cercle n'a rien de physique, c'est un pur outil mathématique, qui n'existe pas. Enfin, si quelqu'un a déjà vu un cercle (un vrai, pas une grossière approximation), qu'il se montre.

Ça me rappelle un de mes premiers cours de maths en 6ème (ouh, ça remonte), où le prof avait dessiné un rond au tableau.
Prof : "Qu'est ce que c'est?"
Élèves en chœur : "Un ceeeeercle!"
Prof : "Hé bah non, bande de gros nuls (ptet que mes souvenirs sont exagérés, là), c'est la représentation d'un cercle!"

À ce moment, un monde merveilleux s'ouvrait à moi

Plus sérieusement, pour moi, <math>\(i\)</math> n'a plus rien d'"imaginaire" (au sens non mathématique du terme), et l'interprétation que j'en ai dépend du contexte. Il peut être un ami pour résoudre des équations en math, une notation en physique (souvent utilisé avec l'exponentielle, d'ailleurs)... Les complexes peuvent aussi être un autre moyen de représenter un point du plan (bijection évidente entre <math>\(\mathbb{C}\)</math> et <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>)...

J'avoue que la première fois que j'ai entendu parler des quaternions, j'ai eu un peu de mal aussi (même si je maîtrisais déjà les complexes).

Et les sélenions et octonions ? Désolé si ça te fait mal au coeur.

Tiens, je connaissais les octonions, mais pas les sélénions.

Bon, en même temps, quand t'as compris le principe, c'est bon

En ayant lu ce sujet, j'ai une question qui vient.
Pourquoi, à partir de maintenant, alors qu'on a réussi à donné un sens et une définition plus formelle du corps des complexes, on ne définie pas le corps des complexes comme un espace vectoriels de <math>\($\mathbb{R}$^2\)</math> muni d'une certaine multiplication.

En physique, j'ai vu qu'on utilisait souvent ça pour les impédances, l'elec, ...
On peut se dire : bah c'est pour pas se faire chier avec les notations pourris des mathématiciens.
Mais les physiciens utilisent aussi les vecteurs. Donc ils utilisent déjà la notation des vecteurs.

Ben, c'est déjà fait. Simplement, pour introduire les complexes aux Term, ça va être chaud de le faire avec des ev... On adapte la présentation à l'auditoire.

Je sais que c'est déjà fait mais je me demandais pourquoi on garde l'ancienne "version". En terminal, on a déjà vu les vecteurs de position. Donc on connait déjà un espace de R^2 ou R^3 muni de certaine multiplication (produit scalaire et produit vectorielle).

Je trouve au contraire que cela peut être plus clair. Ca évitera aux lycéens de se demander pourquoi c'est un nombre imaginaire ? est pourquoi sqrt(-1) ça fait i ?
Alors que je trouve l'utilisation de vecteur beaucoup plus intuitif.

Enfin, peut être que je n'arrive plus à me mettre à l'instant ou j'étais lycéen.

Je pense que c'est ça, parce que honnetement, ça aurait fait mal, des ev en term. Les lycéen ne se posent pas la question pourquoi <math>\(\sqrt{-1}=i\)</math>, mais plutôt que vient foutre i, pourquoi on l'invente ? Ils ne se posent pas la question, parce qu'on leur dit, <math>\(i\)</math> défini tel que <math>\(i^2=-1\)</math>. Donc il n'y a pas de pourquoi ça fait ça (convention), mais pourquoi on fait ça (utilité). C'est, amha, ce que l'on devrait expliquer plutôt que de perdre les élèves avec les ev. L'utilité au profit du formalisme, quoi. Bien que sinon, c'est vrai que tout ce qui est vecteur etc devrait être abordé plus en profondeur étant donnée la puissance de cet outil.

Par contre, formellement, c'est cool de connaître les maths, mais c'est bien de savoir en parler dans un français intelligible.