Bonjours à tous

J'ai ce problème (appelé sangaku) à résoudre, je sais qu'il y à utilisation de trinômes du second degré (delta..), je vous laisse admirer :



Enoncé :

Dans un cercle Q de centre O et de rayon R = 50 est inscrit un triangle équilatéral ABC.
On appelle D le milieu du segment [AB], et on construit le triangle équilatéral DEF dont les sommets sont sur le cercle Q.
Le point H est le milieu du segment [EF].

Déterminer le côté a du triangle DEF.


Début de raisonnement :

Il semble que le centre de gravité (point d'intersection des médianes) joue un intérêt dans les triangles équilatéraux, car il se situe à 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.

Merci d'avance !

C'est même vrai pour tous les triangles, pas que pour les triangles équilatéraux. Tu peux en déduire que <math>\(OD=\frac{OC}{2}\)</math>

Citation : rushia

C'est même vrai pour tous les triangles, pas que pour les triangles équilatéraux. Tu peux en déduire que <math>\(OD=\frac{OC}{2}\)</math>

Oui donc [OC] = 25 je l'avais trouver, mais que faire avec ça

Je sais pas

Citation : rushia

Je sais pas

En même temps pas vraiment besoin de passé par les médianes pour montrer que OC = 25...

Citation : Ahti

En même temps pas vraiment besoin de passé par les médianes pour montrer que OC = 25...

Déjà je vois pas en quoi delta sert ici, mais pourtant je sais qu'il le faut

Déjà il serait intéressant de trouver les valeurs des côtés de ABC

Moi j'essayerais bien d'utiliser Al-Kashi dans le triangle <math>\(ODF\)</math> car on connait <math>\(OF\)</math>, <math>\(OD\)</math>, <math>\(\widehat{ODF}\)</math> et qu'on cherche <math>\(DF=a\)</math> :

<math>\(OF^2 = a^2+OD^2-2OD\cos(\widehat{ODF})a\)</math>

Il faut donc résoudre une équation du second degré, ce qui fait bien intervenir un discriminant

J'ai la solution mais pas le chemin pour y parvenir !



rushia, je n'ai jamais utilisé ce théorème si tu pouvais me l'avancer, au moins jusqu'à ce qu'il y ai une forme ax² + bx + c = 0 ce serait génial !

<math>\(a^2-[2OD\cos(\widehat{ODF})]a+[OD^2-OF^2] = 0\)</math>

Avec :
<math>\(OD=25\)</math>, <math>\(OF=50\)</math> et <math>\(\widehat{ODF}=150\text{degres }=\frac{5\pi}{6}\)</math>


Edit : correction d'une petite erreur.

Citation : rushia

<math>\(a^2-[2OD\cos(\widehat{ODF})]a+[OD^2+OF^2] = 0\)</math>

Avec :
<math>\(OD=25\)</math>, <math>\(OF=50\)</math> et <math>\(\widehat{ODF}=150\text{degres }=\frac{5\pi}{6}\)</math>

Cool je regarde ça !
La formule c'est non ? Je vois pas comment tu as fait

Je trouve :

<math>\(a^2=OD^2+OF^2-2*OD*OF*cos(\widehat{DOF})\)</math>

DOF !

Mais comment trouver ODF déja

Ça marche avec les trois angles si on choisit les bons côtés.

Citation : rushia

Ça marche avec les trois angles si on choisit les bons côtés.

Okay je planche dessus, reste connecté par pitié !

<math>\(a^2-[2OD\cos(\widehat{ODF})]a+[OD^2+OF^2] = 0\)</math>

Je comprend pas ce a à la fin de la parenthèse..

Fais attention, j'avais fait une erreur, c'est <math>\(-OF^2\)</math>

Ici, l'inconnue est <math>\(a\)</math>, on a une équation du second degré de la forme :
<math>\(a'a^2+b'a+c=0\)</math>
avec <math>\(a'=1\)</math>, <math>\(b'=-2OD\cos(\widehat{ODF})\)</math> et <math>\(c' = OD^2-OF^2\)</math>

Edit : Si on veut tout mettre en fonction de <math>\(OD\)</math>, et en sachant que <math>\(\cos(\frac{5\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)</math> et <math>\(OF=2OD\)</math>, on a :
<math>\(a^2+\sqrt{3}ODa-3OD^2=0\)</math>

D'où <math>\(\Delta = (\sqrt{3}OD)^2+4\times3OD^3 = 15OD^2\)</math>

On en déduit <math>\(a=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})OD}{2}=\frac{\sqrt{3}OD}{2}(\sqrt{5}-1)\approx 26.76\)</math>

On retrouve la formule que tu avais donnée tout à l'heure en sachant que <math>\(3OD=CD=\frac{\sqrt{3}}{2}CB\)</math> (théorème de Pythagore dans le triangle <math>\(CDB\)</math>)

Le problème c'est que j'ai trouvé environ 24 et non 26,76, qui est d'ailleurs impossible car OD fait 25 et OH 50

Donc CB/4 n'est pas égal à √3*OD l'erreur est là

En effet, <math>\(\sqrt{3}OD\)</math> n'est pas égale à <math>\(\frac{CB}{4}\)</math> (ce que je n'ai dit nul part) mais <math>\(\frac{CB}{2}\)</math> il n'y a pas d'erreur.

alors comment peut tu trouver que a = environ 26.76 alors qu'il est inférieur à 25 (on le voit graphiquement) ?

Ton intuition graphique est fausse. Rien n'impose <math>\(a\leq25\)</math>, c'est même le contraire.

Citation : rushia

Ton intuition graphique est fausse. Rien n'impose <math>\(a\leq25\)</math>, c'est même le contraire.

PARDON !
Je parlais de la hauteur (en bleu) oui en effet je n'ai rien dit !

Bon boulot !

Juste pour dissiper les doutes, voila un schéma qui montre que <math>\(a\)</math> doit être plus grand que 25 :


Le petit cercle représente tous les points à une distance 25 de <math>\(D\)</math>, on voit bien que ce cercle est à l'intérieur du grand cercle sur lequel se trouve <math>\(F\)</math>, le segment <math>\([DF]\)</math> est donc plus grand qu'un rayon du petit cercle, d'où <math>\(a=DF>25\)</math>