alors voila j'ai quelques difficultés avec la limite d'une fonction qui dans mes souvenirs devrai tendre vers e.

limite lorsque x tend vers plus l'infini de ( 1 + 1/x )^n

Si quelqu'un a des pistes ce serai génial, merci !

PS : ce soir j'apprends à utiliser la balise math, promis !

<math>\(\left(1+\frac{1}{x}\right)^n\)</math> tend vers 0 ou l'infini selon la valeur de <math>\(1+\frac{1}{x}\)</math>.
Néanmoins <math>\(e^x=\lim \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\)</math>.
Pour le démontrer on peux écrire <math>\(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\)</math> sous forme exponentielle.

Pardon erreur dans l'énoncé !
C'est ( 1 + 1/x )^x ou lieu de ( 1 + 1/x )^n
Et j'ai essayé de le passer sous forme exponentielle mais sans aucun résultats satisfaisant

Tu es à quel niveau aussi ? car sinon un développement limité suffit.

Salut, pour t'aider, si tu ne connais pas le développement limité de <math>\(ln(1+h)\)</math> en 0 qui, combiné avec le passage sous forme exponentielle donne directement le résultat comme te l'a signalé L01c, tu peux utiliser une inégalité déjà évoquée dans un précédent post.

Après passage sous forme exponentielle, tu dois voir apparaître <math>\(xln(1+\dfrac{1}{x})\)</math> en exposant. Tu peux donc réécrire <math>\(1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}\)</math> donc <math>\(ln(1+\dfrac{1}{x})=ln(x+1)-ln(x)\)</math>. Et tu utilises l'inégalité mentionnée précédemment (que tu peux utiliser car l'exponentielle est croissante), c'est-à-dire <math>\(\dfrac{1}{x+1} \leqslant ln(x+1)-ln(x)\leqslant \dfrac{1}{x}\)</math>.

Ensuite, tu obtiens donc un encadrement de <math>\(\left ( 1+\dfrac{1}{x} \right )^x\)</math> et tu conclus par le théorème... d'encadrement (nommé également théorème des "gendarmes" pour rendre ça plus glamour auprès des élèves je suppose). Voilou !

<math>\({\left( 1 + \frac{1}{x} \right)} ^ x = \exp \left(x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)\)</math>
A partir de là, tu as les équivalents
Pour <math>\(x \rightarrow \infty\)</math>, on a <math>\(ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x}\)</math>
Donc <math>\(x\times ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \sim x\times\frac{1}{x} = 1 \underset{x \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 1\)</math>.

Ainsi, on a bien <math>\({\left( 1 + \frac{1}{x} \right)} ^ x \underset{x \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} e^1 = e\)</math>

Bonjour,
Je rebondis sur la question: y a-t-il une méthode pour trouver la valeur de cette limite, sans connaître le nombre <math>\(e\)</math>?
Je pose la question parce qu'il semble me souvenir que c'est ce problème qui a conduit Euler à inventer le nombre e.
Le problème était le suivant:
Soit une banque qui rémunère ton compte à 100% d'intérêts annuels. Si on dépose 1 euro, au bout d'un an, on a 1+1=2 euros.
Imaginons que les intérêts soient calculés tous les 6 mois (donc 50% à chaque fois). Au bout de 6 mois, on a: <math>\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\)</math>, et au bout d'un an, <math>\(\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25\)</math>. Si on calcule les intérêts 4 fois par an, on aura <math>\(\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2.44\)</math>. Le problème d'Euler était de savoir combien on obtenait si on calculait les intérêts "continuellement", donc de trouver la limite de <math>\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)</math>. Et cette limite, il l'a appelée <math>\(e\)</math>.

Sans utiliser le développement limité qu'il n'a pas encore vu (tout comme moi), on a déjà vu cet exo et il est d'ailleurs tombé en colle pour moi. Comme les autres l'ont mentionné, il faut mettre sous la forme exponentielle :

<math>\((1+\frac{1}{x})^x = e^{x\ ln(1+\frac{1}x)}\)</math>

On étudie alors la limite de l'exposant <math>\(x\ ln(1+\frac{1}x})\)</math>. Bon on tombe sur une indétermination car <math>\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x = +\infty \ et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} ln(1+\frac{1}x) = 0\)</math>

Donc on revient aux limites à apprendre de la fonction ln, et il y a justement une limite qui pourrait nous sortir de ce problème, il s'agit de <math>\(\lim\limits_{h\rightarrow0} ln(\frac{1+h}h) = ln'(1)=\frac{1}1 = 1\)</math> car ln est une fonction dérivable en 1.

On s'arrange donc pour retrouver dans l'expression qui nous pose problème cette limite du cours. Il suffit (même si ça ne vient pas comme ça lorsqu'on est devant un tableau) de poser un changement de variable <math>\(x=\frac{1}X \ donc \ X=\frac {1}x\)</math>

On réécrit avec le changement de variable la limite de l'expression qui nous pose problème : <math>\(x\ln(1+\frac{1}x) = \frac{1}X\ ln(1+X})= \frac{ln (1+X)}X\)</math>. En posant ce changement de variable <math>\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}x = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} X = 0\)</math>.

On retrouve la limite à connaître et donc <math>\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x\ ln(1+\frac{1}x}) = \lim\limits_{X\rightarrow0} \frac {ln(1+X)}X = 1\)</math>.

Et voilà, le plus gros du travail a été fait, il te reste plus qu'à écrire :
<math>\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} (1+\frac{1}{x})^x = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}e^{x\ ln(1+\frac{1}x)}=e\)</math>
Car <math>\(\begin{cases} \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x\ ln(1+\frac{1}x}) = 1 \\ \lim\limits_{W\rightarrow1} e^W = e^1=e \ \text{car la fonction exponentielle est continue en 1} \end{cases}\)</math>

J'ai juste un doute au niveau de la rédaction, est ce que l'on peut écrire une égalité entre deux limites ... ?
De toute façon, voici la solution sans utiliser de développement limité, à l'ancienne