Bonjour à tous ! 

Je suis en 2ème année universitaire et j'ai des exercices de maths à rendre.

Mais je n'arrive pas à faire la question 1 de l'exo 2... Ainsi que la 2 de l'exo 3. J'ai réussi à montrer

que la limite existe mais je ne vois pas comment la trouver.

Merci d'avance 

Ce qu'il faut, c'est déjà se faire une idée 'intuitive' de la réponse. Pour ça, il faut visualiser un peu ces fonctions. 

On demande la limite en (0,0). Pour ça, il faut imaginer un point (x,y) qui se rapproche de (0,0), en suivant une droite. Et Pour les valeurs (x,y) en question, il faut essayer de voir comment f(x,y) évolue.

Notre point (x,y) qui se déplace sur une droite vers(0,0), on peut le faire se déplacer sur la droite y=0.  ET du coup on se retrouve avec une fonction à une seule variable, assez facile à éudier.

On peut aussi le faire se déplacer sur la droite y=x, e t là encore, on se retrouve avec une fonction à une seule variable, assez facile à étudier.

Pour l'exercice 2 Question 1, en faisant comme ça, on peut conclure.

Rappel:  démarche générale à suivre pour cette recherche de limite est, lorsque ce n'est pas évident :

 1- utiliser des chemins différents approchant le point où on cherche la limite, comme le suggère tbc92

 2- si avec deux chemins distincts , on obtient deux valeurs différentes, c'est fini, il n'y a  pas de limite,

3- si on obtient des valeurs identiques avec des chemins particuliers, cela prouve que si la limite existe, elle ne peut avoir que la valeur trouvée, mais  cela ne démontre pas qu'elle existe,

4- dans le cas général ( il peut y avoir des astuces dans des cas particuliers), il faut, pour pouvoir conclure,  démontrer la convergence en norme pour établir qu'il y a une limite \(l\). Avec deux variables on considère souvent la norme euclidienne  \(\sqrt{x^2+y^2}\), mais dans certains cas , c'est plus astucieux d'en choisir une autre ( je rappelle qu'en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes).

Il faut donc démontrer ici que \(\lim \vert f(x,y)-l\vert =0\) quand \(\sqrt{x^2+y^2} \rightarrow 0\).

Il est souvent, en (0,0),  intéressant de passer en polaire puisque \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) dans \(x=r\cos(\theta), y =r\sin(\theta)\). Donc s'il y a une limite, le résultat ne doit pas dépendre de \(\theta\) quand \(r\rightarrow 0\).

Ainsi dans le 2 de l'exo 3 tu devrais facilement montrer que la limite est 0 en utilisant ce passage en polaire.

Mais pour le 1,  l'exo 2,à mon avis tu auras du mal à trouver une limite .....  

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Edité par Sennacherib 30 septembre 2018 à 18:18:04