J'ai un DM de spe maths (Terminal S), et une question me bloque malgré plusieurs recherche, voici l'énoncer :
M et N sont deux matrices carrées non nulles telles que M * N = 0 (ou 0 désigne la matrice nulle). Démontrer que M n'est pas inversible
Mes recherches ne m'on pas mener très loin : cas particulier pour les matrice carrée d'ordre 2 ou 3 (pas le cas ici), le déterminant de la matrice (pas vu, et impossible sans valeur)...
Je n'ai pas vraiment de piste, mis a part une potentiel démonstration par l'absurde, supposant que M est inversible, mais sans valeurs pour M ou pour N, sa me semble mal partit
Je ne demande donc pas de réponses toutes faites, j'aimerais une piste de recherche, qu'on m'indique si la démonstration par l'absurde peut être une bonne idée, ou si il y a autre chose que j'ai zapper
Hello. Un indice : les consignes indiquent que N n'est pas la matrice nulle indice 2 : effectivement, la démonstration par l'absurde est une bonne piste
hs : si tu ne trouve pas, tu aura le droit à un indice 3
Donc on suppose que M est inversible. Ca veut dire qu'il existe une matrice P telle que P*M = I (I est la matrice identité)... désolé, je dois m'arrêter là, pas le temps d'écrire les 3 dernières lignes.
Ok mais la démonstration n'est pas complete. Quel est le lien entre MN=0 et l'hypothèse est absurde ?
Quand tu fais une démonstration par l'absurde, il faut bien partir d'une hypothèse, faire un calcul, et arriver à une égalité ou une propriété que tu sais être fausse et la dire, donc c'était mon hypothèse de départ qui était fausse.
Typiquement ici :
On suppose que M est inversible, il existe donc une matrice \( M^{-1} \) tel que \( M^{-1}M = I \) soit \( ( M^{-1}M )N = M^{-1} 0 \) soit \( N = 0 \)
Cela te parait peut-être maintenant évident pour passer directement à la conclusion , mais je pense qu'il faut être un peu plus détaillé dans la rédaction d'un devoir TS où tu débutes sans doute (*) sur les matrices.
edit je viens de voir que on m'a précédé dans les conseils de rédaction
Si il existe P tel que P*M=I, en multipliant par N à droite les deux membres , on obtient P*M*N=I*N=N (parce que I est l'élément neutre de la multiplication matricielle) Comme on suppose M*N=0, on aurait donc N=0. Or par hypothèse, N est non nulle, donc l'hypothèse M inversible est absurde.
On met ainsi bien en avant que c'est l'hypothèse de l'énoncé N non nulle qui permet de conclure .
(*) remarque: ce qui me parait curieux, c'est que tu viens juste de faire la rentrée en TS si je comprends ...et on en est déjà à la notion de matrice inversible ? à noter dans ce contexte ce qui n'est peut-être alors qu'un rappel inutile de propriétés qui peuvent être piégeuses au départ lorsque on manipule globalement les opérations matricielles. On a l'habitude des nombres où on considère de façon "automatique" que a*b=b*a ( commutativité ), a*b=0 alors a ou b nul(s) ( pas de "diviseur de zéro" selon l'expression consacrée), a*c=b*c donc a=b ( simplification).
Toutes ces propriétés élémentaires sont fausses dans le cas général pour les matrices.
Ainsi ici de M*N =0, on ne peut déduire N*M=0 . Un petit exemple ( je ne tape pas en LaTeX !)pour s'en convaincre (1,2;0,0)*(2,-4;-1;2)=(0,0;0,0) mais (2,-4;-1;2)*(1,2;0,0)=(2,4;-1,-2). On ne peut pas davantage simplifier M*P=N*P ne permet pas de dire que Met P mais simplement en utilisant la distributivité qui elle est conservée que (M-N)*P=0. Et cette égalité peut avoir d'autre solution que M=N dans le cas général. On ne retrouve certaines propriétés des nombres que pour l'ensemble des matrices inversibles. Mais la commutativité générale de la multiplication reste fausse dans tous les cas . Par contre si M est inversible d’inverse P , on a toujours P*M=M*P =I
On peut utiliser la propriété de ton exercice pour montrer que l'inverse d'une matrice est unique.
Supposons qu'il existe P, Q tel que P*M=Q*M=I, en utilisant la distributivité, on en déduit que (P-Q)*M=0. Or si P-Q est non nul, on vient de voir que M ne peut être inversible donc P=Q.
- Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 10:28:21
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
100% d'accord avec les remarques de Edouard22, bien sûr, mais je pense que tu ne vas pas comprendre la fin de son message. ( perso, je ne la comprends pas).
Prenons un exemple dans R, et pas avec des matrices. Si on te demande de faire une démonstration par l'absurde, tu vas dire : supposons que cette hypothèse soit vraie. Et partant de là, tu vas faire quelques calculs, et tu vas souvent (très souvent même) arriver à la conclusion : ... et donc 1=0.
Cette conclusion est visiblement fausse. Ce qui prouve que l'hypothèse prise au départ est fausse.
Ici, c'est pareil. Si on suppose que M est inversible, alors par quelques calculs, on arrive à I=0 (matrice Identité = Matrice Nulle), ce qui est incohérent, et donc l'hypothèse est fausse.
Salut, Je n'ai pas compris l'erreur de frappe dont vous parlez. Edourad22 part de M*N = 0 par hypothèse. Ensuite il multiplie de chaque côté par M^-1 donc obtiens M^-1 * M * N = M^-1 * 0 or M^-1 * M = I donc M^-1 * M * N = N et de l'autre côté, M^-1 * 0 = 0 donc N = 0, donc absurde.
Non désolé je dois manqué un truc mais je ne vois tjrs pas l'erreur dan la formule que vous citez.
Le
(M−1M)N=M−10
c'est la multiplication de MN=0 par M^-1 de chaque côté.
Ensuite il fait le calcul des deux côté en même temps, ce qui ce traduit ça par N = 0.
Dans la formule que vous indiquez comme ce qu'il a voulu dire je ne comprends pas mieux en fait. J'ai l'impression que vous multipliez (M-1*M)=I par N de chaque côté et du coup je ne comprends plus pourquoi I*N =0.
Mais ok c'est rédigé un peu rapidement (sans doute pour laisser la personne cherchée aussi).
Je suppose que ce qui pose problème c'est plutôt le "soit" après le M−1M=Iqui laisse entendre que l'autre formule en découle directement alors qu'il faut repartir de la formule de l'énoncé M*N = 0.
Dans la formule que vous indiquez comme ce qu'il a voulu dire je ne comprends pas mieux en fait. J'ai l'impression que vous multipliez (M-1*M)=I par N de chaque côté et du coup je ne comprends plus pourquoi I*N =0.
Edité par macaque il y a 14 minutes
enfin quand même, si \((M^{-1}M)=I\) donc \((M^{-1}M)*N=I*N\) et le produit matriciel est associatif donc \( M^{-1}(M *N)=I*N\) or M*N =0 est l'hypothèse de départ!
@marine luiz vous ne faite que répéter ce qui a été dit et développé dans les premiers messages sous une forme différente . Ce que vous citez n'est qu'un commentaire sur un extrait du message d'edouard22 qui est intervenu d'ailleurs pour reconnaître son erreur par un oups,
si ce qui a été dit dés le départ n'est pas clair , alors .... plus rien à dire, sinon je sens que je vais m'énerver ! ( edouard 22 a dit la même chose)
Sennacherib a écrit:
Si il existe P tel que P*M=I, en multipliant par N à droite les deux membres , on obtient P*M*N=I*N=N (parce que I est l'élément neutre de la multiplication matricielle) Comme on suppose M*N=0, on aurait donc N=0. Or par hypothèse, N est non nulle, donc l'hypothèse M inversible est absurde.
- Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 11:53:09
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
@Sennacherib ok donc il y a bien deux démonstrations différentes.
La vôtre par de M^-1*M = I, multiplie par N puis utilise l'énoncé M*N=0.
Celle que j'ai compris d'Edouard22, que j'ai mis dans mon premier message puis celle plus détaillée et claire de MarineRuiz, part de M*N=0, multiplie par M^-1, puis utilise l'hypothèse absurde M^-1*M = I.
Il me semble que les deux raisonnements sont justes (sinon je veux bien que vous expliquez l'erreur). Comme quoi il n'était peut être pas inutile de redévelopper les deux raisonnements ( et de les lire posément sans s'énerver ;-) ) pour comprendre la source de l'incompréhension.
Merci d'avoir pris le temps de détailler votre raisonnement !
si vous trouvez le raisonnement de marineruiz différent ... , pourquoi pas mais à la base c'est exactement la même démonstration ! ( à part que je parle de P au lieu de M-1 mais c'était la notation utilisée au départ et que on multiplie différemment à partir de M*N=0 par P ou à partir de P*M =I par N quelle différence pour aboutir dans les deux cas à I*N =0 !)
pour moi fin de l'épilogue, mais oui je "m'énerve" ( un peu... mais je l'exprime rarement sinon,... ce serait souvent !) quand on en écrit des tonnes sur des trucs évidents ! désolé !
(personnellement, je ne suis intervenu que parce que au départ, j'ai écrit sans avoir vu le message d'édouard22 corrigeant l'imprécision de K4kungen, ni celui de tbc92 . Je pense que si je l'avais vu à temps, je n'aurais rien dit de plus et me serait ainsi dispensé des quelques compléments que j'ai cru devoir rajouter en perdant apparemment mon temps ...)
- Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 13:00:13
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Il est vrai que j'ai passer la démonstration, je vais donc développer cela sur mon devoir, avec une des deux manières proposer
@Sennacherib Oui je viens de rentrer en TS, le sujet proviens d'un devoir maison de spécialité maths, on a commencer par le chapitre sur les matrices. On a en effet vu les propriétés élémentaire, et le fait qu'elles deviennent en général fausses pour les matrices. Mais merci pour le rappel
Encore merci a vous pour votre aide, le temps passer, et votre rapidité
Sachez qu'à aucun moment je n'ai prétendu sortir un nouveau raisonnement de mon chapeau.
Comme je l'ai dis dans les premières lignes de mon post "Pour moi le calcul est vraiment a détailler pour lever tout doute de mauvaise compréhension de la démo par le correcteur."
Je n'ai donc pas voulu vexer qui que ce soit, j'ai simplement voulu aider la personne qui demandait de l'aide. Nous avons surement tous ici un niveau différent en mathématiques et une aisance différente à manipuler les matrices. Il est bien trop facile de s’emmêler les pinceaux en les manipulant. J'ai tout simplement bien détaillé le calcul pour que personne ne puisse se méprendre, qu'aucun calcul ne soit implicite.
Après, que des personnes trouvent ma démonstration différente, pour le coup, je me décharge de toute responsabilité car ce n'était pas volontaire --"
donc comme M est inversible: \((M^{-1}M)N)=0\) <=> \((IN)=0\) <=> \(N=0\)
était faux alors que ça me semblait tout a fait correct.
Quand on a m'a répondu
\((M^{-1}M )N =I*N = 0 \) soit \(N=0\) a-t-il voulu dire sans aucun doute
Cela revenait pour moi à remplacer le premier \(M^{-1}0\) de mon raisonnement par \(IN\), ce qui donne :
\((MN)=0\) <=> \(M^{-1}(MN)= IN\)
Ce qui n'avait plus de sens.
Maintenant j'ai compris que cette formule venait du raisonnement très proche mais qui inverse l'utilisation des hypothèses, je cite : (M−1M)=I donc (M−1M)∗N=I∗N et le produit matriciel est associatif donc M−1(M∗N)=I∗N or M*N =0 [ donc N = 0 ]
- Edité par macaque 26 octobre 2018 à 22:32:42
M * N = 0 Montrer que M n'est pas inversible
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