svp j'ai pas compris cet exercice qlq m'aider:

soit A€Mn(c) avec n>=2 verfiant pour tout x€Mn(c)

det(A+x)=detA+detx

Mq detA=0 puis A=0

indications:

• Pour montrer que \(det(A)=0\),  choisir \(X=A\)  
• Pour montrer que alors \(A=0\), c'est je pense, un peu plus compliqué. Une piste pour une solution possible:
   \(det(A)=0\) implique simplement que \(A\) n'est pas inversible et a un certain rang \(r\). Il s'agit de montrer que \(r=0\)
  Il faut savoir que   \(A\) peut alors se mettre sous la forme  \(A=P I_r Q\) où \(I_r\) est diagonale avec des 1 pour les \(r\) premiers termes diagonaux et des 0 pour les \(n-r\) suivants et où \(P,Q\) sont des matrices inversibles..
  Je te laisse chercher la matrice \(X\) à construire utilisant \(P,Q\) pour arriver à la conclusion \(r=0\)  ( indication: \(A+X\)  doit être inversible ...) 

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Edité par Sennacherib 19 avril 2018 à 8:58:13

Une autre solution pour montrer que A = 0 en raisonnant par l'absurde :

• Suppons A non nulle.

Alors A admet au moins une valeur propre λ non nulle (on est dans ℂ).

On pose alors X = -λ*I.

On a donc det(A + X) = det(A) + det(X) = det(X) ≠ 0.

Or A + X admet 0 comme valeur propre et ne peut donc pas être inversible.

On aboutit donc à une conclusion absurde et on peut donc en déduire que A = 0.

(Veuillez pardonner la piètre présentation de mon raisonnement, j'ignore comment écrire de jolies Maths sur ce forum)

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Edité par zintor 1 mai 2018 à 11:47:21

Attention, tu fais une erreur de raisonnement au début :

\(A \neq 0\) n'implique pas que \(A\) possède une valeur propre non nulle ! Par exemple, une matrice nilpotente non nulle a \(0\) pour unique valeur propre.

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Edité par sylpro 1 mai 2018 à 19:08:56

zintor a écrit:

Alors A admet au moins une valeur propre λ non nulle (on est dans ℂ).

Edité par zintor il y a environ 7 heures

Il y a une  faille  dans ton raisonnement ....

au moins une valeur propre oui, mais une nécessairement   non nulle, c'est faux même dans C. Une matrice A triangulaire non nulle avec des zéros sur la diagonale vérifie \(det(A)=0\) et aura 0 pour seule valeur propre  . Son polynôme caractéristique en dimension \(n\) sera \(\lambda^n = 0\)

edit
je viens  de voir le post de sylpro qui m'a devancé....

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Edité par Sennacherib 1 mai 2018 à 19:50:39