Bonsoir tout le monde,
Juste une petite question toute bête, est-ce que j'ai le droit de faire la factorisation suivante, sachant que <math>\(B\)</math> est une matrice de dimension <math>\(3 \times 3\)</math>, <math>\(c_1, c_2, c_3\)</math> sont des scalaires et <math>\(v_1, v_2, v_3\)</math> sont des vecteurs de dimensions <math>\(1 \times 3\)</math>.

<math>\(c_1v_1B + c_2v_2B + c_3v_3B = 0 \Longleftrightarrow (c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3)B = 0\)</math>

Je sais parfaitement que j'ai le droit de faire ça pour des nombres, mais vu que le produit matriciel fonctionne un peu différemment...
Merci !

A mon avis oui, mais il est tard

De toutes façon ça ne presse pas, c'est une partie d'un exo que je dois rendre lundi

Oui, tu peux en effet factoriser par <math>\(B\)</math>.
En fait, ta question se réduit à savoir si pour <math>\(u,v \in \mathbb{R}^3\)</math> et <math>\(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\)</math>,

<math>\((u+v)M=uM+vM\)</math>

En fait, pour faire justifier cela, on peut dire que l'action à droite <math>\(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}^3\)</math> est compatible avec l'addition de <math>\(\mathbb{R}^3\)</math>. Mais la preuve de cet argument repose sur l'égalité ci-dessus... Donc, mieux vaut mettre les mains dans le cambouis:

On note pour <math>\(u=(u_1,u_2,u_3)\)</math> et <math>\(v=(v_1,v_2,v_3)\)</math>, <math>\(w=u+v=(w_1,w_2,w_3)\)</math>.
On considère <math>\(M=(m_{ij})\)</math>.

<math>\(\displaystyle wM=(\sum_{i=1}^3 w_im_{ij})_{j=1,2,3}\)</math>
Or, <math>\(w_i=u_i+v_i\)</math> pour tout <math>\(i\)</math>

donc, pour tout <math>\(j\)</math>,
<math>\(\sum_{i=1}^3 w_im_{ij}=\sum_{i=1}^3 (u_i+v_i)m_{ij}=\sum_{i=1}^3 (u_im_{ij}+v_im_{ij})=\sum_{i=1}^3 u_im_{ij}+\sum_{i=1}^3 v_im_{ij}\)</math>,

donc <math>\(wM=(\sum_{i=1}^3 u_im_{ij}+\sum_{i=1}^3 v_im_{ij})_{j=1,2,3}=(\sum_{i=1}^3 u_im_{ij}))_{j=1,2,3}+(\sum_{i=1}^3 v_im_{ij})_{j=1,2,3}=uM+vM\)</math>

Voilà, j'espère ne pas m'être planté dans les différents indices, mais sinon, l'idée est là.

Belle démonstration, rien à dire sylpro Merci à toi