Bonsoir,

Voici donc la propriété en question :

Si <math>\(A\)</math> est une matrice carrée d'ordre <math>\(n\)</math> et <math>\(B\)</math> est la matrice de ses cofacteurs, alors :



Si c'était possible de me donner un exemple ça serait sympa car j'ai essayé d'appliquer la proposition avec une matrice d'ordre 2 et 3 mais j'ai du mal m'y prendre car je ne tombe pas sur la bonne réponse.

Merci.

Il me semble que ta formule est fausse. Si <math>\(B\)</math> est la matrice des cofacteurs, c'est <math>\(AB^t = det(A)I_n\)</math> où <math>\(B^t\)</math> est la transposée de <math>\(B\)</math>

Si on prend une matrice 2x2 <math>\(A = \left( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\)</math>, la matrice des cofacteurs de <math>\(A\)</math> est <math>\(B = \left( \begin{array}{cc}d & -c\\-b & a\end{array}\right)\)</math>

Si on calcule maintenant <math>\(AB^t = \left( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\left( \begin{array}{cc}d & -b\\-c & a\end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc}ad-bc & -ab+ab\\cd-cd & -cb+ad\end{array}\right) = det(A)I_2\)</math>

D'où pour les matrices inversibles la fameuse matrice inverse : <math>\(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\left( \begin{array}{cc}d & -b\\-c & a\end{array}\right)\)</math>

Pour une matrice 3x3 <math>\(A = \left( \begin{array}{ccc}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{array}\right)\)</math>, on trouve <math>\(B = \left( \begin{array}{ccc}(ei-hf) & (fg-di) & (dh-ge)\\(hc-bi) & (ai-gc) & (gb-ah)\\(bf-ec) & (dc-af) & (ae-db)\end{array}\right)\)</math>

Si maintenant on calcul <math>\(AB^t = \left( \begin{array}{ccc}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{array}\right)\left( \begin{array}{ccc}(ei-hf) & (hc-bi) & (bf-ec)\\(fg-di) & (ai-gc) & (dc-af)\\(dh-ge) & (gb-ah) & (ae-db)\end{array}\right)\)</math>
<math>\(= \left( \begin{array}{ccc}(aei-ahf+bfg-bdi+cdh-cge) & 0 & 0\\0 & (dhc-dbi+eai-egc+fgb-fah) & 0\\0 & 0 & (gbf-gec+hdc-haf+iae-idb)\end{array}\right) = det(A)I_3\)</math>

Merci beaucoup pour cette réponse rapide et complète rushia.

Je dois en conclure, après vérifications que l'erreur provient de mon syllabus. Tu m'as dons évité pas mal de temps de recherches vaines.

Merci encore !