Salut,

Nous avons récemment entamé le chapitre de mécanique, cependant j'essaye de démontrer le plus grand nombre de relation que je peux, donc j'ai essayé de démontrez l'expression de l'accélération tangentielle et normale avec un niveau terminale, je l'ai démontré par un système d'équation ou
<math>\(a_t\)</math> et <math>\(a_n\)</math> sont les inconnues, après un peu de calcule, j'ai trouvé :

<math>\(\ddot x v=a_t \dot x - a_n \dot y\)</math> et
<math>\(\ddot y v=a_t \dot y + a_n \dot x\)</math>

j'ai donc trouvé après calcul : <math>\(a_t=\frac{1}{2v}\times\frac{d((\dot x)^2+(\dot y)^2)}{dt}\)</math> et puisque <math>\(v=\sqrt { (\dot x)^2+(\dot y)^2}\)</math>, donc :

<math>\(a_t=\frac{1}{2v}\times\frac{dv^2}{dt}=a_t=\frac{1}{2v}\times 2v\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dt}\)</math>, ce qui est juste et ce qui prouve que ce que je n'ai pas fait de faute de calcul, donc <math>\(a_n\)</math> forcement sera juste -enfin j’espère -, pour ce qui de <math>\(a_n\)</math> j'ai trouvé :

<math>\(a_n=\frac{ \ddot y.\dot x -\ddot x.\dot y}{v}\)</math>, mais je ne vois pas comment :

<math>\(a_n=\frac{ \ddot y.\dot x -\ddot x.\dot y}{v} = \frac{v^2}{ \rho}\)</math>, avec <math>\(\rho\)</math> le rayon de courbure de la trajectoire du corps .
Quelqu'un pourrait-t-il m'aider pour finie la démonstration, et Merci d'avance .

Quel est le problème que tu cherches à résoudre ?

Bonjour,

Citation : Elionor

<math>\(a_n=\frac{ \ddot y.\dot x -\ddot x.\dot y}{v}\)</math>, mais je ne vois pas comment :

<math>\(a_n=\frac{ \ddot y.\dot x -\ddot x.\dot y}{v} = \frac{v^2}{ \rho}\)</math>, avec <math>\(\rho\)</math> le rayon de courbure de la trajectoire du corps .
Quelqu'un pourrait-t-il m'aider pour finie la démonstration, et Merci d'avance .

Ta dernière relation est parfaitement exacte car on montre en géométrie des courbes planes que le rayon de courbure d'une courbe paramétrée <math>\(x(t), y(t)\)</math> s'exprime par:
<math>\(\rho=\frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}}{x'y"-x"y'}\)</math> et si t est le temps, tu retrouves ton résultat.

Pour aller jusqu'au bout de ton calcul , je te donne une façon de retrouver cette expression

La vitesse est colinéaire au vecteur <math>\(\vec{T}\)</math> tangent à la courbe ; notons <math>\(\phi\)</math> l'angle de ce vecteur avec l'axe des abscisses ,
si <math>\(s(t)\)</math> est l'abscisse curviligne sur la courbe, le rayon de coubure n'est autre que <math>\(\rho = \frac{ds}{d\phi}\)</math>
Mais <math>\(s'\)</math> n'est autre que le module de la vitesse soit :
<math>\(s'=(x'^2+y'^2)^{1/2}\)</math>

Compte tenu de la définition de <math>\(\phi\)</math>, il est clair que l'on a par ailleurs:
<math>\(x'=s'cos(\phi)\)</math>
<math>\(y'=s'sin(\phi)\)</math>

on obtient alors
<math>\(x"=s"cos(\phi)-s'sin(\phi)\phi'\)</math>
<math>\(y"=s"sin(\phi)+s'cos(\phi)\phi'\)</math>

En combinant tout cela, je te laisse le soin de vérifier que l'on trouve la relation <math>\(x'y"-x"y'=s'^2\phi'\)</math>

et comme <math>\(\rho = \frac{ds}{d\phi} =\frac{ds}{dt}\frac{dt}{d\phi}=\frac{s'}{\phi'}\)</math>, on obtient bien l'expression annoncée du rayon de courbure.

Salut,

Merci nabucos, je vois à présent d’où ça vient, merci encore une fois .

Edit : Une dernière chose, n'aurait-tu pas un petit dessin pour montrez pourquoi <math>\(\phi\)</math> est l'angle entre <math>\(\dot y\)</math>et <math>\(\dot x\)</math>