Salut à tous,

Voilà j'ai un exercice de mécanique et je ne sais pas trop comment commencer.



On a donc une barque initialement immobile de masse M dans l'eau près d'un pont avec un passager de masse m à son bord. Le passager se trouve initialement au point A et se déplace au point B afin de rapprocher le bateau du quai. Les centres d'inertie de la barque et du passager sont projetés au fond de la barque en G et A respectivement. On note AB=l.
De quelle distance d la barque avance-t-elle?
On néglige les frottements entre la barque et l'eau.

Est-ce que quelqu'un a une petite idée sur comment démarrer le problème?

Merci d'avance.

Je pense que tu devrais regarder du côté de la conservation de la quantité de mouvement du système {barque+passager}
Je pense que le résultat ne dépend pas de la vitesse de déplacement.

Par exemple, si le passager se déplace à une vitesse v vers la gauche, sa quantité de mouvement sera <math>\(mv\)</math> et par conservation de la quantité de mouvement du système, la quantité de mouvement de la barque sera <math>\(-mv\)</math> et donc sa vitesse <math>\(-\frac{m}{M}v\)</math> (soit <math>\(\frac{m}{M}v\)</math> vers la droite). En intégrant sur un temps <math>\(dt\)</math> pendant lequel le passager se déplace de <math>\(dl\)</math> vers la gauche, on trouve que la barque s'est déplacée de <math>\(\frac{m}{M}dl\)</math> vers la droite. Avec ça, on doit pouvoir s'en sortir.

Oui j'avais pensé à ça aussi mais est-ce qu'on peut affirmer que la quantité de mouvement produit par le passager se transmet intégralement à la barque parce que si c'est le cas j'aurais dit intuitivement: d=(m/M)*l non?

Selon moi on a:

Etape 1 : Passager en mvt et barque fixe.

On a P=m*v

Etape 2 : Passager fixe et barque en mvt.

On a P=M*V

On a donc m*v=M*V et par intégration par rapport au temps on a bien d=m/M*l

Mais ce qui me chiffone c'est qu'on utilise à aucun moment le point G alors je me demandais si il fallait pas utiliser le téorème du moment cinétique sinon pourquoi donner le centre d'inertie de la barque.

Il y a une petite subtilité, c'est que le point B se déplaçant en même temps que la barque, le passager ne parcours pas vraiment toute la distance AB, mais plutôt AB-(distance parcourue par la barque)

Sinon oui l'absence de frottement implique que toute la quantité de mouvement (horizontale) du passager est "transmise" à la barque.

Les points A et B étant fixe dans le repère de la barque le passager parcours bien la distance l normalement.

Sauf qu'on se place pas dans le repère de la barque. Les distances dont je parle sont mesurées par rapport à La position initiale du point A.

On doit pouvoir trouver une solution assez géométrique au problème, aussi, non ? Par exemple en partant du principe qu'en l'absence de frottement avec l'eau, il n'y a pas de raison pour que le centre d'inertie de l'ensemble {barque + passager} bouge (je crois, arrêtez-moi si je me trompe), et que donc partant de là, comme on connaît la masse de la barque et celle du passager, on connaît bien la position de G en fonction de où est le passager dans la barque (et de où est le centre d'inertie du système global, qui ne bouge pas).

Bonjour,
je découvre cette histoire de barque , prémisse du gag classique du passager arrivé en B qui tombe à l'eau aprés avoir ignoré les principes fondamentaux de la dynamique ,voulant enchainer directement un passage sur le quai par une impulsion mal calculée!

Plus techniquement, si le passager s'arrête brusquement en B, que fait la barque? Logiquement elle devrait s'arrêter brusquement, la quantité de mouvement du système devant rester nulle, la présence d'une accélération ne changeant pas a priori ce principe, non?.
Mais si le mouvement du passager n'est pas de façon générale uniforme ( pour simplifier, on peut dire uniformément accéléré jusqu'en G puis uniformément décéléré jusqu'en B, il transmet une accélération à la barque. Ainsi un référentiel lié à cette barque n'est plus galliléen dans le repère fixe. Est ce que cela change quelque chose au résultat de la distance parcourue?

Je ne pense pas, puisque à aucun moment je ne me place dans le référentielle de la barque pour calculer cette distance (à moins que je loupe quelque chose ?).

Avec la méthode que j'ai proposée :
On arrive donc à l'équation <math>\(d = \frac{m}{M}(l-d)\)</math>
Ce qui donne très facilement <math>\(d = \frac{m}{m+M}l\)</math>

Avec la méthode de Locke, on arrive tout aussi rapidement au résultat :
On regarde la distance entre le centre de gravité du système (je vais l'appeler <math>\(G_s^d\)</math> au départ et <math>\(G_s^a\)</math> à l'arrivée) et <math>\(G\)</math> (par exemple).

Au départ : On a <math>\(M.\vec{G_s^dG} + m.\vec{G_s^dA} = \vec{0}\)</math>
D'où <math>\(\vec{G_s^dG} = \frac{m}{m+M}.\vec{AG}\)</math>

A l'arrivée : On a <math>\(M.\vec{G_s^aG} + m.\vec{G_s^aB} = \vec{0}\)</math>
D'où <math>\(\vec{G_s^aG} = \frac{m}{m+M}.\vec{BG}\)</math>

Puisque le centre de gravité du système est fixe, la barque a subie une translation de vecteur <math>\(\vec{G_s^aG_s^d} = \vec{G_s^aG} - \vec{G_s^dG} = \frac{m}{m+M}(\vec{BG}-\vec{AG}) = \frac{m}{m+M}.\vec{BA}\)</math>
Ce qui traduit bien que la barque s'est déplacée de la distance <math>\(d=\frac{m}{m+M}l\)</math> vers la droite.

(Je pense qu'il y a surement une rédaction plus élégante)

Edit : autre rédaction possible :
Appelons <math>\(G_1,\ A_1,\ B_1\)</math> et <math>\(G_2,\ A_2,\ B_2\)</math> les positions respectives de <math>\(G,\ A,\ B\)</math> quand le passager est à son point de départ et à son point d'arrivée. Appelons également <math>\(G_s\)</math> le centre de gravité du système (qui est fixe dans notre référentiel galiléen) et <math>\(O\)</math> l'origine du repère.
On a :

• Au départ : <math>\(\vec{OG_s} = \frac{m}{m+M}\vec{OA_1} + \frac{M}{m+M}\vec{OG_1}\)</math>
• A l'arrivée : <math>\(\vec{OG_s} = \frac{m}{m+M}\vec{OB_2} + \frac{M}{m+M}\vec{OG_2}\)</math>

D'où <math>\(\frac{m}{m+M}\vec{OA_1} + \frac{M}{m+M}\vec{OG_1} = \frac{m}{m+M}\vec{OB_2} + \frac{M}{m+M}\vec{OG_2}\)</math>

Et donc <math>\(M.\vec{G_1G_2} = m.\vec{B_2A_1} = m.(\vec{B_2A_2}+\vec{A_2A_1})\)</math>

Or, comme la barque est en translation, <math>\(\vec{A_2A_1} = \vec{G_2G_1}\)</math>

d'où <math>\((M+m).\vec{G_1G_2} = m.\vec{B_2A_2}\)</math> et donc <math>\(\vec{G_1G_2} = \frac{m}{m+M}\vec{B_2A_2}\)</math>

Et comme <math>\(\vec{G_1G_2}\)</math> correspond bien à la translation de la barque, elle s'est bien déplacée de <math>\(d=\frac{m}{m+M}l\)</math> vers la droite.

je ne comprends pas trop l'application de la quantité de mouvement dans cette situation j'avoue....

Etant donné que, pour se déplacer, le passager doit exercer une force (et donc une accélération), la quantité de mouvement ne me semble pas être conservée...

Ah si j'ai compris en l'absence de force extérieure au système (barque + passager), la quantité de mouvement de ce système est conservée
C'est pas une application du principe d'action réaction ?

J'aurais plutôt dit que le principe d'action réaction est une conséquence de celui-ci, mais enfin les deux sont strictement équivalents...