Thêta est égal à zéro. Et l'angle Phi est par rapport à l'axe Z Thêta par rapport à X.

Bonjour,

le nouveau dessin correspond bien à ce que j'imaginais mais pour un problème en toute généralité, je ne vois pas pourquoi oil n'y aurait pas une rotation psi autour de Oy ?

Pour les calculs , il me parait plus simple de placer l'origine O au centre de gravité G du parallélépipéde.

Je suggère ci-aprés une façon de faire.

On caractérise les rotations par des matrices de la forme( notation à adapter, je ne sais plus si ce sont celles de l'énoncé):
<math>\(\[MX_{ = } \begin{pmatrix}1&0&0 \\0&cos\varphi&-sin\varphi \\0&sin\varphi&cos\varphi\end{pmatrix}\]\)</math>, <math>\(\[MY_{ = } \begin{pmatrix}cos\psi&0&-sin\psi \\0&1&0 \\sin\psi&0&cos\psi\end{pmatrix}\]\)</math>, <math>\(\[MZ_{ = } \begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta&0 \\sin\theta&cos\theta&0 \\0&0&1\end{pmatrix}\]\)</math>
Les coordonnées des sommets avant rotation sont de la forme, pour un repère en G avec L,l,h demi longueur des arêtes:
<math>\(\[ A_{1}(L,l,h) \] \[ A_{2}(L,l,-h) \] \[ B_{1}(-L,l,h) \] \[ B_{2}(-L,l,-h) \]\)</math>, etc...
On les transforme par <math>\(\[[A_{1}]_{rot}= [MX][MY][MZ][A_{1}] \]\)</math>, etc... en choisissant bien sûr l'ordre des matrices selon l'ordre des rotations.
On applique aussi naturellement la transformation aux coordonnées du trou.
On hiérarchise de <math>\(\[ Z_{min}\longrightarrow Z_{max} \]\)</math> la côte des sommets du fond pour déterminer leur position par rapport à un plan de côte <math>\(\[ Z=Z_{C} \]\)</math> que l'on va faire varier par itération jusqu'à obtenir le bon volume.
Les coordonnées du point d'intersection plan Z=ZC et arêtes sont obtenues par :
<math>\(\[ \dfrac{X-X_{1}}{X_{2}-X_{1}}=\dfrac{Y-Y_{1}}{Y_{2}-Y_{1}}=\dfrac{Z_{C}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} \]\)</math>, X1,X2, etc...coordonnées génériques de l'arête concernée.
On doit alors calculer le volume d'un polyédre dont on connait toutes les dimensions , qui va de la pyramide à la pyramide tronquée ou au parallélépipéde tronqué.
Il faut un test pour appliquer la bonne formule selon ZC
Il ne reste plus qu'à comparer la côte telle que <math>\(\[ V(Z_{C})=V_{l} \]\)</math> avec celle du trou !

Hum, dans un référentiel en rotation, la surface libre d'un liquide soumis à la gravité n'est pas plane, hein..

Sauf erreur, il doit plutôt s'agir d'une surface de révolution basée sur une parabole, fonction de la rotation du référentiel.

Bonsoir,
@gravestein
au départ je croyais aussi, ....mais lire les post. précédents !
il s'agit d'un problème purement statique ...grosso modo , on penche un aquarium avec un trou selon des rotations, est ce que cela fuit par le trou?.
C'est donc pas vraiment de la méca flu (...on m'a déjà fait la remarque) mais plutôt un petit exo de géométrie 3D.

PS
Avec un récipient parallélépipédique, et un réferentiel tournant selon une seule direction , de toute façon ce n'est sans doute pas résoluble analytiquement .
La surface liquide est un paraboloïde si ce récipient est un cylindre , a minima il doit être axisymétrique selon Oz si on veut espérer une solution simple.

Alors avec le mouvement selon plusieurs angles...!

Citation : nabucos

Bonjour,
à Vael
comme je le pressentais hier soir vers minuit,...j'aurais mieux fait d'aller me coucher!

Je prolonge néanmoins l'idée de départ de façon je l'espère moins folklorique;

pour un traitement informatique, l'utilisation des matrices de rotation selon chaque axe pourrait peut être être efficace car on obtient ainsi facilement, outre les nouvelles coordonnées du trou, celle des sommets du parallélépipéde.( les matrices permettent en outre de tenir compte facilement de l'ordre des rotations, qui, sauf erreur, modifie le résultat)

Connaissant les coordonnées des sommets, on obtient alors les équations 3D des arêtes .

Les plans z=Cte vont donner les coordonnées d'intersections avec ces arêtes, en nombre variables selon les données du problèmes ( dimensions du récipient, volume liquide Vl, inclinaisons).
On doit alors calculer le volume V(z)sous le plan , le bon z étant alors obtenu pour V(z)=Vl
A priori, cela peut être un peu laborieux sinon compliqué de calculer les volumes dans tous les cas de figures, en particulier si le fond se dénoie
Mais si on suppose que l'on ne dénoie pas le fond, cela conduit à un calcul assez simple puisque on a un polyédre de surface de base rectangulaire L*l et on connait la hauteur îmmergée de chaque arête latérale par le calcul précédent . (On doit avoir un truc du genre V=L*l(a+c)/2, à vérifier)
Il reste enfin à comparer le z ainsi obtenu à celui du trou.
NB
Je suis en train de tester mes dires sous Scilab.

Je suis plutot d'accord avec ça...

Je dirais que l'algorithme doit
1) Retrouver les coordonnées cartésiennes des sommets du parallélipipède, ainsi que celles du trou, grâce aux angles <math>\(\phi\)</math> et <math>\(\theta\)</math>
2) Permettre de trouver les équations des arêtes (vecteur unitaire) et des faces (vecteur unitaire normal à la face)
3) Permettre de trouver le point du trou qui est le plus proche du plan horizontal (z=0, si on considère l'axe OZ comme étant la hauteur dans notre repère), appelons ce point <math>\(P(X_P, Y_P, Z_P)\)</math>
4) Connaissant ce point <math>\(P\)</math>, on prend sa coordonnée selon Z (<math>\(Z_P\)</math>)
5) On calcule le volume donné par l'intersection entre le plan <math>\(Z=Z_P\)</math> et le point du parallélipipède ayant <math>\(Z_A=Min(Z_X)\)</math>, X étant les points du parallélipipède (<math>\(Z_A\)</math> est le point le plus bas du quadrilatère)
Comme déjà dit plus haut, plusieurs solutions peuvent se présenter :

le volume rempli de liquide (volume du quadrilatère situé sous le point P)

• est 1 point ==> <math>\(Volume = 0\)</math>
• est un segment de droite (une arête) ==> <math>\(Volume = 0\)</math>
• est un rectangle (une face) ==> <math>\(Volume = 0\)</math>
• est une pyramide à base triangulaire dont le sommet est <math>\(Z_A\)</math>
  <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\(Volume = base * hauteur / 3\)</math>
  avec
  • <math>\(base = quadrilatere \cap plan(Z=Z_P)\)</math>
  • <math>\(hauteur = |Z_A-Z_P|\)</math>
  
  
• est une pyramide à base rectangulaire
  <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\(Volume = base * hauteur / 3\)</math>
  avec
  • <math>\(base = quadrilatere \cap plan(Z=Z_P)\)</math>
  • <math>\(hauteur = |Z_A-Z_P|\)</math>
  
  
• est un prisme à base trapézoïdale
  <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\(Volume = ...\)</math>
  
• est une combinaison des formes citées ci-dessus
  <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\(Volume = \sum {Volume}\)</math>
  
• NB : Dans le cas où le volume se situant sous le trou est supérieur à la moitié du volume du parallélipipède, on peut se ramener à l'une des situations précédente par simple symétrie (en disant que le volume dessous est = Volume total - Volume au dessus du point P)
  

La répartition entre ces différents cas n'est pas facile, mais c'est faisable

6) Comparer le volume obtenu au point 5) avec le volume de liquide (supposé connu)

• Si <math>\(Volume_{liquide} < Volume_{calcul\'e}\)</math> il n'y a pas d'écoulement de liquide par le trou
• Si <math>\(Volume_{liquide} > Volume_{calcul\'e}\)</math> il y a écoulement de liquide par le trou (et la vitesse d'écoulement est proportionnelle à la hauteur de liquide excédentaire qu'on peut trouver par itération (plus petit, plus grand) grâce à la fonction de calcul de volume en fonction de <math>\(Z_P\)</math> créée pour le point 5)