Tout d'abord, bonjour à vous !
Je suis en première S et je dois montrer que si <math>\(ax^2+bx+c<0\)</math> alors <math>\(\Delta<0\)</math>
J'ai obtenu quelque chose mais je pense que c'est en partie faux c'est pourquoi je demande votre aide pour savoir ce qui ne va pas.

<math>\(f(x)=ax^2+bx+c\)</math>

<math>\(f(0) = c\)</math>
<math>\(f(0)<0\)</math>
Donc, <math>\(c<0\)</math>

Pour que <math>\(f(x)<0\)</math> il faut que la parabole admette un maximum ce qui signifie que <math>\(a<0\)</math>

<math>\(ax^2+bx+c<0\)</math>

<math>\(a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\)</math>

<math>\(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right]\)</math>

<math>\(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\)</math>

<math>\(b^2-4ac=\Delta\)</math>

<math>\(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\)</math>


On a :

<math>\(a<0\)</math>

<math>\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\geq0\)</math>

<math>\(4a^2>0\)</math>

Donc <math>\(\Delta<0\)</math> pour que <math>\(f(x)<0\)</math>

Mais le problème c'est que si delta est positif, peut-être que ce qu'il y a entre crochet est quand même positif si :

<math>\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2>\frac{\Delta}{4a^2}\)</math>

Je sais pas si vous voyez ce que je veux dire mais j’espère que vous saurez m'aider

tu ne connais pas le signe de a,b ou c, tu connais juste le signe général si j'ai bien compris

hum... je vais y reflechir

Je pense que tu t'embarques dans trucs un peu trop compliqués.

Déjà l'ennoncé exact n'est il pas : "démontrer que si pour tout x dans IR, ax²+bx+c<0, alors Delta<0" ?

Dans ce cas, que peux tu dire du signe de delta par rapport au nombre de racines ?

Pour ce qui est de ton raisonnement :

Citation

Pour que f(x)<0 il faut que la parabole admette un maximum

2 trucs qui me chagrinent :
* la parabole c'est un objet géométrique, une courbe, ça n'atteint pas de maximum ; tu veux parler de la fonction je pense.
* Après, ce que tu dis est vrai, mais c'est assez bancale comme raisonnement/rédaction. Tu utilises le fait que ta fonction est un trinôme du second degré (tu peux très bien avoir f(x)<0 et f qui n'admet pas de maximum, je te laisse trouver un contre exemple), sans le préciser explicitement.

Pour finir : à la fin dans ton raisonnement, tu as montré que si ton discriminant est négatif, alors f(x) < 0 pour tout x réél.

Mais comme tu l'as fait remarqué, cela ne prouve en rien que si f(x)<0, alors le discriminant est négatif. (si A implique B, cela ne veut pas dire que B implique A : exemple bête : "s'il pleut alors les gens sont mouillés" est vrai par contre, "si les gens sont mouillés, alors il pleut" est faux : on peut très bien avoir été manche en se servant de l'eau !).

Euh c'est beaucoup plus simple que tout ça :
Si P(x)=ax²+bx+c est strictement négatif pour tout x réel, ça signifie que P n'a pas de racine réelle et donc que delta est négatif...

Merci ! J'ai cherché à faire trop compliqué...

Bonjour
Remarquons aussi que si <math>\(ax^2+bx+c > 0\)</math> strictement sur <math>\(\[ \mathbb{R} \]\)</math> , la conclusion est la même.

Remarquons encore que tu peux aussi le prouver en "ignorant" le lien racine / signe de <math>\(\Delta\)</math> par le calcul de la valeur de l'extremum qui se produit pour pour <math>\(x=\frac{-b}{2a}\)</math> cet extremum vaut tout simplement : <math>\(-\frac{\Delta}{4a}\)</math>
Si l'extrémum est négatif,(resp; positif) <math>\(f(x)\)</math> sera toujours négatif (respec. toujours positif) si a est négatif (*)(resp. positif ) et tu en déduis que le discriminant est toujours négatif dans ces deux cas.

(*) <math>\(f(x)\)</math>est toujours du signe de a lorsque <math>\(x\)</math>est suffisamment grand