Bonjour,


Dans mon cours de physique sur le mouvement circulaire uniforme, une fois mis en place le repère de Frenet, il est expliqué que :



puis que :


Là dessus, pas de démonstration ni d'explications, rien...

Alors voilà, comme je n'aime pas les formules balancées comme ça sans explication (dans la mesure du possible), je me demandais comment justifier cette dernière égalité (notamment le <math>\(\frac{v^2}{r} \cdot \vec{n}\)</math> qui me parait sorti du chapeau). Avez vous une explication svp ?

[edit : En fait, je m’aperçois en essayant de refaire les calculs tout seul que le fait que l'origine du repère change constamment me dérange énormément, je ne vois pas du tout comment m'y prendre. Je ne comprends même plus pourquoi <math>\(\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\)</math>, alors qu'il semble que ce faisant l'on ne prend en compte que l'accélération tangentielle (sauf si on se place dans un autre repère, mais ce n'est pas mentionné).]


Autre point qui me perturbe aussi : dans les représentations du repère en question, on voit que les vecteurs unitaires <math>\(\vec{n}\)</math> et <math>\(\vec{t}\)</math> ne sont pas représentés de même taille, ce qui me conduit à me demander ce que représentent ces vecteurs. Je m'explique : dans un repère "classique" (Oxyz), les vecteurs unitaires <math>\(\vec{x}\)</math>, <math>\(\vec{y}\)</math> et <math>\(\vec{z}\)</math> représentent pour moi une unité de distance, donc a priori on a tout intérêt (pour la cohérence des calculs) à ce que leur norme soit identique.

Donc j'imagine qu'au final la norme de tous ces vecteurs unitaires est bien identique, puisque tous les résultats (distance, vitesse, accélération) sont exprimés dans les mêmes unités, et que seule leur représentation diffère ici pour d'obscures raisons. Je me trompe ?


Merci d'avance !

C'est vrai que le repère de Frenet peut se révéler perturbant.
Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'en utilisant ce repère, on dissocie la notion de référentiel de celle de repère. En effet, jusqu'à maintenant, tu te plaçais dans un référentiel (terrestre par exemple) et tu y collais un repère <math>\((O, \vec{i},\vec{j})\)</math> qui était fixe dans ce référentiel.
Maintenant, tu ajoutes un second repère <math>\((M,\vec{n},\vec{t})\)</math>, qui bouges, mais tu restes dans le même référentiel.
Conséquence : les dérivées des vecteurs <math>\(\vec{n}\)</math> et <math>\(\vec{t}\)</math> ne sont plus nulles (comme c'est le cas pour <math>\(\vec{i}\)</math> et <math>\(\vec{j}\)</math>)

Pour illustrer cela, on va exprimer <math>\(\vec{n}\)</math> et <math>\(\vec{t}\)</math> en fonction de <math>\(\vec{i}\)</math> et <math>\(\vec{j}\)</math> et de l'angle <math>\(\theta\)</math> entre <math>\(\vec{OM}\)</math> et l'horizontale (dans le cadre d'un mouvement circulaire) :
<math>\(\vec{n}=-\cos(\theta)\vec{i}-\sin(\theta)\vec{j}\)</math>
<math>\(\vec{t}=-\sin(\theta)\vec{i}+\cos(\theta)\vec{j}\)</math>
On va maintenant calculer les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps :
<math>\(\frac{d\vec n}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\sin(\theta)\vec{i}-\frac{d\theta}{dt}\cos(\theta)\vec{j}=-\frac{d\theta}{dt}\vec{t}\)</math>
<math>\(\frac{d\vec t}{dt}=-\frac{d\theta}{dt}\cos(\theta)\vec i -\frac{d\theta}{dt}\sin(\theta)\vec j=\frac{d\theta}{dt}\vec n\)</math>

Partant de la, retrouvons la formule de l'accélération :
Soit <math>\(r\)</math> le rayon (supposé constant : mouvement circulaire).
<math>\(\vec{OM}=-r\vec n\)</math>
<math>\(\vec{v}=\frac{d\vec{OM}}{dt}=-r\frac{d\vec n}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}\vec t\)</math>
On en déduit que <math>\(v=||\vec v||=r\frac{d\theta}{dt}\)</math>
<math>\(\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{t} + v\frac{d\vec t}{dt}\)</math> (on applique la formule de dérivation d'un produit comme pour des fonctions réelles : je n'ai pas supposé le mouvement uniforme donc <math>\(v\)</math> peut ne pas être constante)
<math>\(\vec a = v\frac{d\theta}{dt}\vec n + \frac{dv}{dt}\vec t\)</math>
Or, comme <math>\(v=r\frac{d\theta}{dt}\)</math>, <math>\(\frac{d\theta}{dt}=\frac{v}{r}\)</math>
On retombe donc bien sur la formule :
<math>\(\vec a = \frac{v^2}{r}\vec n + \frac{dv}{dt}\vec t\)</math>

Deux remarques :

• Dans le cas du mouvement uniforme, <math>\(\frac{d v}{dt}=0\)</math> et donc <math>\(\vec a = \frac{v^2}{r}\vec n\)</math>, ce qui correspond bien à ce qui est représenté sur ton schéma.
• Le repère de Frenet est bien plus général que le simple cas du mouvement circulaire (même si il n'est utilisé que dans ce cas en terminale) et la relation que tu donnes pour l'acceleration reste exacte (en remplaçant le rayon par le rayon de courbure) mais devient un peu plus complexe à démontrer.

Enfin, pour ta dernière question, oui, normalement les vecteurs du repère de Frenet sont de norme 1 et auraient du être représentés de la même longueur.

Merci pour ta réponse détaillée.

J'y vois déjà beaucoup plus clair, particulièrement par le fait qu'il faut dissocier ici la notion de repère et celle de référentiel.

Pour ton explication, je pense en avoir saisi l'essentiel, mais je peine quelque peu à suivre la totalité du raisonnement. C'est surtout que je n'ai pas du tout l'habitude d'utiliser la notion de dérivée vectorielle (même si j'ai déjà rencontré cette notion dans le cours).