Bonjours a tous,

Alors voila j'ai un DM pour demain et je bloque a une question qui est la suivante :

On considère l'expression polynomiale
<math>\(P(z) = z^3 + (-\sqrt{3}+2i)z^2 + (1-i2\sqrt{3})z + 2i\)</math>

L'équaption <math>\(P(z) = 0\)</math> admet une solution imaginaire pure (de la formme <math>\(iy\)</math> avec <math>\(y\)</math> réel.
déterminer cette solution

Le prof nous a dit de remplacer z par iy, ce que j'ai fait mais apres je bloque.. pouvez vous m'aidez ?
Merci d'avance

Cordialement,
Maxime

Peux-tu écrire tous les calculs que tu as fait avant de bloquer pour qu'on puisse t'aider plus efficacement.

Sinon, l'idée, c'est que si tu as <math>\(A(y)+iB(y) = 0\)</math> (avec <math>\(A(y)\)</math> et <math>\(b(y)\)</math> des réels), tu as <math>\(A(y)=0\)</math> et <math>\(B(y)=0\)</math>. Si tu arrives à mettre ton équation sous cette forme, l'une des deux équations sera peut-être de degré inférieur ou égal à <math>\(2\)</math> et donc tu pourras trouver une solution <math>\(y\)</math> qui convient.

J'ai remplacer z par iy et j'obtient :

<math>\(-iy^3 -\sqrt{3}iy^2 - y^2 + iy + 2\sqrt{3}y + 2i\)</math>
<math>\(= -iy^3 -y^2(1+\sqrt{3}i) + y(2\sqrt{3}+i) + 2i\)</math>

A partir de là essaye d'obtenir une équation de la forme <math>\(A(y)+iB(y) = 0\)</math> (avec <math>\(A(y)\)</math> et <math>\(B(y)\)</math> des réels) pour appliquer ce que je dis dans mon précédent post.

Pour cela, il faut que tu développes tout puis que tu factorises <math>\(i\)</math>.

Je ne voit pas comment factoriser i...

Bein si tu as <math>\(iy+y^2+2iy^3\)</math>, tu obtiens <math>\(i(y+2y^3)+y^2\)</math> reste à appliquer ça à ton expression, je ne peux/veux pas le faire à ta place, ça ne t'aiderait pas.

<math>\(i(-y^3 - \sqrt{3}y^2 + y + 2) - y^2 + 2\sqrt{3}\)</math>

C'est sa ?

Oui. Un complexe est nul si et seulement si... ?

Il faut que la somme entre parenthese soit nul ?

Bien tenté mais c'est pas ça... Sinon je viens de me rendre compte que ton développement était faux, tu peux le recommencer

C'est <math>\(2\sqrt{3}y\)</math>, pas <math>\(2\sqrt{3}\)</math>, mais sinon, c'est bon (si ton développement initial est bon ce qui ne semble pas le cas selon Manuu, et en effet, la parenthèse au niveau du <math>\(y^2\)</math> est fausse).

Essaye d'identifier le <math>\(A(y)\)</math> et <math>\(B(y)\)</math> dont je parlais.

Citation : Manuu

Bien tenté mais c'est pas ça... Sinon je viens de me rendre compte que ton développement était faux, tu peux le recommencer

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Citation : rushia

C'est <math>\(2\sqrt{3}y\)</math>, pas <math>\(2\sqrt{3}\)</math>, mais sinon, c'est bon (si ton développement initial est bon ce qui ne semble pas le cas selon Manuu, et en effet, la parenthèse au niveau du <math>\(y^2\)</math> est fausse).

Essaye d'identifier le <math>\(A(y)\)</math> et <math>\(B(y)\)</math> dont je parlais.

<math>\(i(-y^3 - \sqrt{3}y^2 + y + 2) + y(2\sqrt{3} - y)\)</math>

La j'ai ton A et ton B, n'est ce pas ?

Ecrit <math>\(A(y) = ...\)</math> et <math>\(B(y) = ...\)</math>
ensuite il te suffit d'appliquer ce que je dis dans mon premier post.

Par contre, il faut absolument que tu corriges ta première étape (quand tu développes après avoir remplacé <math>\(z\)</math> par <math>\(iy\)</math>) en particulier la partie avec <math>\(z^2\)</math>

Ah oui je croit que jai fait une erreur effectivement, car <math>\(iy^2 = -y\)</math> c'est sa ?

EDIT : Ce qui donne :

<math>\(i(2-y) + y(3\sqrt{3}- y^2)\)</math>

non <math>\((iy)^2 = -y^2\)</math>

Ah oui.. Désolé c'est le soir j'ai un peu de mal...
Je vais me laver, je reprend sa apres et je vous dit si je bloque encore

EDIT : J'ai toujours pas de degré inférieur ou égal a deux...

<math>\(i(-y^3-2y^2+y-2) + \sqrt{3}y^2 + 2\sqrt{3}y\)</math>

Y doit encore y avoir une erreur... j'ai du mal ce soir xD

Il y a effectivement une erreur de calcul dans ton résultat, mais le degré inférieur ou égal à <math>\(2\)</math> y apparaît quand même.
Si tu ne le vois pas comme ça, réécris ton résultat comme te l'a conseillé rushia, avec <math>\(A(y)=...\)</math> et <math>\(B(y)=...\)</math>

Merci a tous de m'avoir aider. J'ai eu 15/20 =DD