Bonjour à tous

Mon année de première s'est pas si mal passé que ça à part en maths J'ai tourné à 7 de moyenne toute l'année et résultat on m'a donné une liste d'exercices longue comme le bras à faire pendant les vacances et là je suis sur un exercices sur les nombres complexes et on peut pas dire que je maîtrise

C'est pour cela que je viens vers vous aujourd'hui, j'espère de tout coeur que vous pourrez m'aider.

On me donne ces informations :

b le nombre complexe de module 1 et d'argeument π/6.

c est le conjugué de b.

Et donc la question est : écrire b et c sous la forme x+iy avec x et y réels.

Si vous pouviez ne serait-ce que me donner un petit coup de pouce, ce serait génial, merci à tous.

Utilise la formule d'Euler

Voici la réponse:

D'ailleurs les complexes c'est pas en terminal ?

Bah c'est simple, tu sait que b est de module 1 et d'argument <math>\(\frac{\pi}{6}\)</math>, donc tu sais que ton point dans le plan complexe est sur le cercle de rayon un, et à l'angle <math>\(\frac{\pi}{6}\)</math>.

Donc avec un peu de trigo, tu peux exprimer l'abscisse (la partie réelle) comme étant <math>\(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\)</math> et l'ordonnée (la partie imaginaire) comme étant <math>\(sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\)</math>

Après la tu doit pouvoir exprimer b=u+vi sans trop de problème...

Et pour c, le conjugué, il suffit d'inverser le signe de la partie imaginaire.

<edit>grillé</edit>

Super c'est vraiment sympa Et donc si j'ai bien compris pour faire le module de c, je fais :

|c| = √((√3/2)²+(1/2)²)

Peut-être que je me trompe complètement

Oui et tu retrouves que <math>\(\left|c\right|=\left|b\right|=1\)</math>, ce qui est logique car <math>\(\left|x\right|=\left|\overline{x}\right|\)</math>.

Je m'y prends peut-être mal, je trouve |c| = √7/2 = 1,32

Et si on me demande de calculer le module de a - b, je m'y prends de quelle façon ?

<math>\(\begin{align} \left|c\right|&=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ &=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)} \\ &=1 \end{align}\)</math>

Citation : designer53

Et si on me demande de calculer le module de a - b, je m'y prends de quelle façon ?

C'est quoi a ?

oui tu t'y prend mal, chez moi: <math>\(\sqrt{\left(\frac{sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1\)</math>

oups oui pardon, a = √3/4 (1 + i√3)

<math>\(\begin{align} a-b&=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\imath\frac{1}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{4}+\imath\frac{1}{4}\\ &=\frac{-\sqrt{3}}{4}+\imath\frac{1}{4}\end{align}\)</math>
Donc
<math>\(\begin{align} \left|a-b\right|&=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{3}{16}\right)+\left(\frac{1}{16}\right)}\\ &=\frac{1}{2}\end{align}\)</math>

Mais comment passe-t-on de a = √3/4 (1 + i√3) à a = √3/4 + i3/4

Citation : designer53

Mais comment passe-t-on de a = √3/4 (1 + i√3) à a = √3/4 + i3/4

En développant:
<math>\(\begin{align} a&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(1+\imath\sqrt{3}\right)\\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}+\imath\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}+\imath\frac{3}{4} \end{align}\)</math>
car <math>\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\)</math>.

Merci, il ne me reste plus que la dernière question, il faut placer les point a, b et c dans un repère (0;u;v), pour les coordonnées des points, je dois m'y prendre de quelle façon?

Tu sais construire b: tu traces l'angle de <math>\(\frac{\pi}{6}\)</math> (moitié de l'angle d'un triangle équilatéral) à partir de l'axe des abcisses et le cercle unité (cercle de centre O et de rayon 1). c: symétrique de b par rapport à l'axe des abcisses. Pour a, l'abcisse est la moitié de l'abcisse de b (=>médiatrice) et l'ordonnée tu sais la tracer.

Rappel: pour placer un point dans le plan, la partie réelle est en abcisse et la partie imaginaire en ordonnée.

Le soucis c'est que les points OAB doivent former un triangle rectangle et en plaçant les points ça ne marche pas :S

Moi ça marche
Vérifie les coordonnées de chaque point avec les valeurs approchés de la calculatrice...
Mais je pense que l'erreur est chez a: tu prends le projeté orthogonal de b sur l'axe des abscisses (le points de même abscisse et d'ordonnée 0), que je vais noté D. Tu traces la médiatrice de [OD] (parallèle à l'axe des ordonnées) et tu regardes le point d'ordonnée 3/4.

Soit le repère complexe Ouv (<math>\(x\)</math> = Abcisses, <math>\(y\)</math> = ordonnées)

L'origine O est en (x,y)=(0,0)

Récapitulons :

<math>\(A=\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}i = \frac{3}{4}e^{i\frac{\pi}{4}} \Rightarrow A=\frac{\sqrt{3}}{4}\vec{u} + \frac{3}{4}\vec{v} \Leftrightarrow A=(X_A,Y_A)=(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4})\)</math>
<math>\(B=1 e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \Rightarrow B=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v} \Leftrightarrow B=(X_B,Y_B)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\)</math>
<math>\(C=1 e^{-i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \Rightarrow C=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v} \Leftrightarrow C=(X_C,Y_C)=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})=\overline{B}\)</math> (= symétrique de B par rapport à l'axe <math>\(\vec{Ou}\)</math>)

Tu peux dessiner A en prenant la forme exponentielle (angle de 45° par rapport à <math>\(\vec{Ou}\)</math> et module du nombre = 3/4 donc segment |OA| = 3/4)

Tu peux dessiner B en prenant la forme exponentielle (angle de 30° par rapport à <math>\(\vec{Ou}\)</math> et module du nombre = 1 donc segment |OB| = 1)

Ensuite, dessine C qui est le symétrique de B par rapport à <math>\(\vec{Ou}\)</math>



Je ne vois pas trop où est la difficulté :/

On peut montrer que le triangle OAB est rectangle

OAB rectangle en A <math>\(\Leftrightarrow \vec{OA}.\vec{AB} = 0\)</math> (2 segments sont perpendiculaires ssi leur produit scalaire est nul)
<math>\(\Leftrightarrow (\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}).(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{4})=0\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \frac{3}{16}-\frac{3}{16}=0\)</math> --> OK

ou OAB rectangle en B <math>\(\Leftrightarrow \vec{OB}.\vec{BA} = 0\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}).(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4})\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow -\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\not=0\)</math> --> NOT OK

Donc ton triangle OAB est rectangle en A... cqfd

Merci de vos conseils très précieux, tout marche impec'

Il ne me reste plus qu'un exercice de nombres complexes, il faut que je donne la forme trigonométrique de zA (zA = 3 + 3i) et honnêtement tout est embrouillé dans ma tête Je crois que c'est une histoire de √a²+b² et de têta = tan-1(b/a) mais je suis loin d'être sûr et surtout je ne sais pas quel mot utiliser pour présenter mes calculs J'espère que vous pourrez m'aider

Pour écrire un nombre sous forme trigonométrique:

• tu calcules le module: ici <math>\(|z_{A}|=3\sqrt{2}\)</math>
• tu factorises par le module: <math>\(z_{A}=3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\imath\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)</math>
• tu cherches à reconnaitre les valeurs grâce au valeurs trigonométriques remarquables

Ici: