voila l'exercice est simple :
étudier la suite de terme general : <math>\(u_n = n \times \sum_{p = 1}^n \left( \frac{1}{n^2+p} \right)\)</math>
Donc il faut en trouver la limite; la vrai méthode se trouve dans l'encadrement du terme de la somme.
Au final on trouve <math>\(\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\)</math>( ca c'est juste c'est sur )


j'étais parti sur autre chose ( qui semble juste sur le papier ) qui se trouve être faux !
Pour être sur je décompose carrément la somme décomposer la somme :
<math>\(u_n = n \times \frac{1}{n^2+1} + n \times \frac{1}{n^2+2} + ... +n \times \frac{1}{n^2+n}\)</math>

Ce qui donne :
<math>\(u_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + ... + \frac{n}{n^2+n}\)</math>

Apres simplification on a la forme exploitable suivante :
<math>\(u_n = \frac{1}{n+\frac{1}{n}} + \frac{1}{n+\frac{2}{n}} + ... + \frac{1}{n+1} = \sum_{p = 1}^n \left( \frac{1}{n+\frac{p}{n}} \right)\)</math>

A partir de la on a le choix par équivalent c'est très simple :
lorsque n tends vers l'infini tous les termes tendent vers 0 ainsi :<math>\(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\)</math>
Si on veut faire ça de maniéré très précise on fais la somme de Rieman :
D’après la dernière expression on pose <math>\(x = \frac{1}{n+\frac{p}{n}}\)</math> pour p variant de 1 a n :
Donc pour n tends vers l'infini on a :
<math>\(u_n = \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = ln(n+1) - ln(n)\)</math>

et
<math>\(\lim_{n \to +\infty} ln(n+1) - ln(n) = 0\)</math>


( ca se verifie tres simplement a la calculatrice )

et comme on sait que <math>\(1 \neq 0\)</math>
j'en deduit que y'a une c...... dans mon gigot !!

quelqu'un la voit il ?

( c'est une erreur d'etourderie que je n'arrive pas a voir soit une erreur d'approximation que je fais passer quelque part ! )
Merci d'avance pour l'aide

Bonsoir,

Citation

A partir de la on a le choix par équivalent c'est très simple :
lorsque n tends vers l'infini tous les termes tendent vers 0 ainsi <math>\(\[ lim u_{n}\longrightarrow 0 \]\)</math>

La conclusion que tu tires est fausse.
Le fait que chaque terme tende vers zéro ne prouve pas que leur somme tend vers zéro car le nombre total de terme tend vers l'infini.

Dans une telle situation la somme peut aussi bien converger que diverger.
Je pense que le plus simple pour prouver la convergence vers 1 est d'encadrer ta suite par deux suites qui converge vers 1 ce qui est assez facile.

Bonsoir,

il me semble que tu utilise les sommes de Riemann de façon incorrecte.


pour <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math>fixé, la somme de Riemman de la fonction inverse sur <math>\([a,b]\)</math> s'écrit:
<math>\(S_n =\frac{b-a}{n} (\sum_{p=0}^n \frac{1}{a+p( \frac{b-a}{n})})\)</math>

on a alors :

<math>\(\lim_{n \to +\infty} S_n = \int_a^b \frac{1}{t} \mathrm{d}t\)</math>

En aucun cas a et b ne peuvent dépendre de n, comme tu le fais dans la solution que tu propose.

Si tu te souviens bien, l'indice n dans une somme de Riemman correspond au nombre de fois que tu subdivise ton intervalle <math>\([a,b]\)</math>

et bien merci a vous deux une erreur d'approximation et une erreur tout cour ... j'en espérer pas autant !!!
Merci en tous cas !

EDIT :
WOOooh
je continuai a chercher comment je m'étais trompé et j'ai trouver autre chose en fait
es ce que j'ai le droit de démontrer la limite de cette maniere ?? : ( on prend en compte les expressions dites plus haut )
<math>\(u_n = \frac{1}{n} \times \sum_{p=1}^n \frac{1}{1+\frac{p}{n^2}}\)</math>

Donc le terme de la somme est inferieur ou egal a <math>\(\frac{1}{1+\frac{p}{n}}\)</math>
de plus si n tends vers l'infini tous les termes de la somme tendent vers 1 donc :

<math>\(u_n = \frac{1}{n} \times n \times \lim \frac{1}{1+\frac{1}{n}}\)</math>( quand n tends vers + l'infini

donc
<math>\(u_n = \frac{n}{n} \times 1 = 1\)</math> CQFD

bon ok j'ai pas le droit d'ecrire plusieurs des lignes precedentes telle qu'elles le sont ( genre le calcul avec la limite en plein milieu ) mais la c'est l'idée du truc !

j'ai le droit de le faire comme ca ou c'est un coup de chance???

Citation : InsaneMan

de plus si n tends vers l'infini tous les termes de la somme tendent vers 1 donc :

Quand p=n (et cela arrive bien), <math>\(\frac{1}{1+\frac{p}{n}}=\frac{1}{2}\)</math> qui ne tend pas vers 1.

De plus prouver que <math>\(\lim_{n\to +\infty}u_{n}\leq 1\)</math>, ne suffit pas pour prouver que la limite est 1. Par exemple, <math>\((-1)^{n}\leq 2\)</math> et pourtant la limite n'existe pas.

Bonjour,

Citation

j'ai le droit de le faire comme ca ou c'est un coup de chance???

je mise sur le coup de chance!
(Je ne reprends pas ce qu'à dit zMaths qui vient de me devancer.!)

Suggestion sur une façon de faire :

Réfléchis à ce que je t'ai dit dans mon premier post et encadre ta suite par deux suite qui tendent vers 1.
remplace p par deux valeurs fixes, une qui maximise et l'autre qui minimise le dénominateur des termes de ta somme pour obtenir deux suites encadrant <math>\(u_n\)</math>

c'est bon c'est fait ça ! c'est juste que je cherchai une autre façon de faire ( désespérément )
en tout cas merci de vos réponses bien utiles !