Bonjour
Comme l'indique le titre, j'ai un problème concernant le calcul de l'ordre d'un élément de <math>\(\mathbb{U}_n\)</math>.
Donc, soit <math>\(w=exp(\frac{2i \pi}{n})\)</math> générateur de <math>\(\mathbb{U}_n\)</math>.
Je sais que l'ordre de <math>\(w^k\)</math> est <math>\(\frac{n}{PGCD(n,k)}\)</math>.
Et je lis dans une correction d'exo (provenant d'un bouquin) que :
soit <math>\(r|n\)</math>, <math>\(D_r=\{w^k,k\in[\![1,r-1]\!],PGCD(k,r)=1\}\)</math> serait l'ensemble des générateurs de <math>\(\mathbb{U}_r\)</math>, sous groupe de <math>\(\mathbb{U}_n\)</math>. Il contiendrait donc tous les éléments de <math>\(\mathbb{U}_n\)</math> dont l'ordre est <math>\(r\)</math>, si je ne me trompe pas.

La façon dont ils explicitent <math>\(D_r\)</math> me semble donc incorrecte ! J'ai pris, pour essayer de comprendre, l'exemple de <math>\(\mathbb{U}_8\)</math>.
En utilisant la formule citée précédemment pour calculer l'ordre de <math>\(w^k\)</math> j'obtient :
<math>\(w,w^3,w^5,w^7\)</math> sont d'ordre 8.
<math>\(w^2,w^6\)</math> sont d'ordre 4.
<math>\(w^4\)</math> est d'ordre 2.

On devrait donc obtenir : <math>\(D_8=\{w,w^3,w^5,w^7\},D_4=\{w^2,w^6\},D_2=\{w^4\}\)</math>
Or si l'on s'en réfère à l'expression de <math>\(D_r\)</math> qu'ils ont donné on obtient :
<math>\(D_8=\{w,w^3,w^5,w^7\},D_4=\{w,w^3\},D_2=\{w\}\)</math> ce qui n'est pas franchement le résultat attendu :')
Existe-t-il donc un moyen d'expliciter <math>\(D_r\)</math> autre que <math>\(D_r=\{w^k,k\in[\![1,n-1]\!],\frac{n}{PGCD(k,n)}=r\}\)</math> qui est la définition de base ?
J'espère avoir été assez clair et ne pas m'être trompé dans mes raisonnements/calculs

P.S : pour information le but de la manœuvre est de partitionner <math>\(\mathbb{U}_n\)</math> afin de montrer que <math>\(\sum_{d|n}\phi (d)=n\)</math>, <math>\(\phi\)</math> étant ici la fonction indicatrice d'Euler.

Je pense qu'il y a une petite erreur dans le bouquin, la bonne définition serait plutôt, avec d=n/r: <math>\(D_r=\{w^{kd} | ,k\in[\![1,r-1]\!],PGCD(k,r)=1\}\)</math>.

Après, pour montrer ton égalité avec l'indicatrice d'Euler, on peut avoir le même raisonnement mais avec des outils plus simples que les groupes de racines n-ièmes:

Tu prends <math>\(F=\{\frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{n}{n}\}\)</math> et de la même manière, l'ensemble <math>\(F_r=\{\frac{k}{r} | ,k\in[\![1,r]\!],PGCD(k,r)=1\}\)</math> pour <math>\(r | n\)</math> et je te laisse te convaincre que les <math>\(F_r\)</math> forment une partition de <math>\(F\)</math>. D'où le résultat car il y a n fractions dans <math>\(F\)</math>.