Bonsoir à tous;
Je viens à nouveau vous réclamer de l'aide. Mais tout d'abord déjà, bonne année à tous

Alors alors. Je sèche sur la dernière question d'un DM. Je vous recopie tout ce que j'ai fait jusqu'à présent, aussi pour pouvoir obtenir une validation possible de ce que j'ai pu faire.

1-a et b sont des entiers tels que a<b<0 ; g est leur PDCG et m leur PPCM
1.Déterminez g et m lorsque, pour cette question <math>\(a=n(2n-1)\)</math> et <math>\(b=(n-1)(2n-1)\)</math> avec n entier positif supérieur ou égal à 2.

Je saute la rédaction, j'ai <math>\(g=2n-1\)</math> et <math>\(m=(2n-1)(n-1)*n\)</math>

2-On pose <math>\(p=a/g\)</math> et <math>\(q=b/g\)</math>. Exprimez en fonction de p et de q les nombres tels que <math>\(m(a+b)=abg\)</math> [1]

Alors, tout d'abord, j'ai <math>\(m=gpq\)</math> et <math>\(a+b=gp+qg\)</math>.
<math>\(m(a+b)=abg\)</math> Cette équation équivaut aux suivantes:
<math>\(gpq(gp+qg)=abg\)</math>
Or <math>\(gp=a\)</math> D'où <math>\(aq(gp+qg)=abg\)</math> qui équivaut à

<math>\(q(p+p)=b\)</math>
De même, on trouve que <math>\(a=p(p+q)\)</math>
Et la réciproque fonctionne.

3-Parmi les nombres a et b qui satisfont la relation [1], trouvez ceux qui satisfont <math>\(g=a-b\)</math>
Si a et b satisfont à [1] alors <math>\(a=p(p+q)\)</math> et <math>\(q(p+p)=b\)</math>
De plus, comme <math>\(p=a/g\)</math> et <math>\(q=b/g\)</math> alors p et g sont premiers entre eux. Donc d'après le théorème de Gauss

<math>\(pgcd(a;b)=g=p+q\)</math>
Ensuite, <math>\(a-b=(q+p)(p-q)\)</math>
Ainsi les nombres qui satisfont [1] et [2] sont les a et b de la relation [1], avec <math>\((q+p)=(q+p)(p-q)\)</math>, c'est à dire <math>\(p-q=1\)</math>


4-Démontrez que les nombres entiers a et b qui satisfont à la fois [1] et [2] sont tels que (a-b)²=a+b
Je l'ai fait, je saute la redaction de ça. On nous demande si la réciproque est vraie, je montre par un contre exemple (a=3 et b=1) que non.

5-On note r le reste de la division de a par b et on suppose que a et b satisfont à la relation [3]. Calculez alors a et b en fonction de r lorsque r est différent de 0

C'est ici que je sèche. J'ai posé <math>\(n=a-b\)</math> et ai donc trouvé d'un côté que a=(n²+n)/2 et b=(n²-n)/2 et d'autre part que <math>\(n>3\)</math>
Mais je ne sais pas si c'est utile, ni quoi faire ensuite.

Auriez-vous des pistes à me proposer?
Merci d'avance!

C'est quoi la relation [3] déjà ?

Oups, toutes mes excuses, c'est celle de la question 4
(a-b)²=a+b
Bon, j'ai trouvé une façon de le faire, ça fait un peu bidouillage je trouve.
Mais bon.
<math>\(n=a-b\)</math>
et a et b satisfont à [3]. Donc:
<math>\(a=\frac{n^{2}+n}{2}\)</math>
<math>\(b=\frac{n^{2}-n}{2}\)</math>
<math>\(\frac{a}{b}=\frac{n^{2}+n}{n^{2}-n}\)</math>
On montre que la fonction <math>\(f(x)=\frac{x^{2}+x}{x^{2}-x}\)</math> est inférieure à 2 sur <math>\(]3;+\infty[\)</math> (Par étude de la dérivée, qui est toujours négative. La fonction est donc décroissante, f(3)<2 CQFD).
Donc on a <math>\(\frac{a}{b}<2\)</math>
De plus <math>\(a=bk+r\)</math> avec k appartenant aux entiers relatifs.
On obtient alors <math>\(k<2\)</math>
k<2 et k est différent de 0, car r est différent de 0 et a>0
Donc k ne peut que être égal à 1 :<math>\(k=1\)</math>
On a donc <math>\(a=b+r\)</math>, soit <math>\(a-b=r\)</math> et <math>\((a+b)^{2}=r^{2}\)</math>
On obtient donc a=(r²+r)/2 et b=(r²-r)/2
Et voila
Quelque chose à redire, une autre façon de faire? Ou je passe en résolu?