Bonjour,

Je me permets de venir vous poser une petite question car il y a un point de mon cours sur lequel j'avais déjà bloqué il y a quelques semaines, et sur lequel je me heurte aux mêmes difficultés aujourd'hui.
Pourtant, ce n'est probablement pas bien compliqué, j'ai juste peut-être une déficience logique.

Alors : nous partons d'une équation du second degré :
<math>\(X^2 - 2\sqrt{3}X + i = 0 \text{ et on trouve donc : } \Delta = 12 - 4i = Z^2\)</math>

On cherche : <math>\(\sqrt{\Delta} = z \\\)</math>

<math>\(On note donc : z = a + ib \Longrightarrow z^2 = a^2 + 2aib - b^2\)</math>

On obtient donc un système à deux équations :
<math>\(a^2 - b^2 = 12\)</math>
<math>\(2ab = -4 \text{ donc } ab < 0\)</math>

Pour trouver a et b, il nous faut une troisième équation : <math>\(a^2 + b^2\)</math>

C'est là que ça cloche. Je connais la réponse ( <math>\(4\sqrt{10}\)</math>, c'était dans le cours), mais je ne comprends pas.

Pour trouver <math>\(4\sqrt{10}\)</math>, on fait :
|Z²| = |12 - 4i| = <math>\(\sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\)</math>

Mais ça, ça ne devrait pas représenter <math>\(\sqrt^{a^2 + b^2}\)</math> ? (définition du module)

Et auquel cas on devrait chercher :
|Z²|² = |12 - 4i|² = 160 = a² + b² (ce qui - reconnaissons-le - est beaucoup moins sexy comme réponse)

Je vous remercie de bien vouloir m'aider à corriger mon petit problème de logique

Cordialement.

Il y'a déja une erreur logique à corriger. Il est faux d'écrire "<math>\(\sqrt{\Delta}=z\)</math>"
on cherche plutôt <math>\(\delta\)</math> tel que <math>\(\delta^2=\Delta\)</math>. La racine carré n'est valable que pour un réel positif.
Ensuite tu n'as pas <math>\(|Z^2|=\sqrt{a^2+b^2}\)</math>.
Tu as deux méthodes pour calculer le module de Z² :
<math>\(|Z^2|=|Z|^2=\sqrt{a^2+b^2}^2=a^2+b^2\)</math>
<math>\(|Z^2|=\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}=\sqrt{(a^2+b^2)^2}=a^2+b^2\)</math>

Nan !
C'est le module de z qui vaut la racine carrée de la partie réelle et imaginaire au carrée !

<math>\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)</math>

Pas ce que tu as mis

Merci à vous deux d'avoir aidé un déficient :-}
C'était tout con, mais je n'arrivais pas à faire ce lien entre z² et z.
Je vous remercie

Passez une bonne fin de soirée.