Bonjour à tous !
Je cherchais les possibilités sur un quadrillage pour aller d'un point à un autre avec les chemins les plus courts avec le Triangle de Pascal. Enfin par exemple, que sur cette figure, il y a telles possibilités pour aller du point tout en bas à gauche au point tout en haut à droite :

Je ne vais pas rentrer dans les détails, mais pour les formules j'ai trouvé que :
-Sur un <math>\(1\times n\)</math> : <math>\(n+1\)</math>
-Sur un <math>\(2\times n\)</math> : <math>\((n+1)(n+2)/2!\)</math>
-Sur un <math>\(3\times n\)</math> : <math>\((n+1)(n+2)(n+3)/3!\)</math>
-Sur un <math>\(4\times n\)</math> : <math>\((n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/4!\)</math>
-Sur un <math>\(5\times n\)</math> : <math>\((n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)/5!\)</math>
Etc.

Après, je me suis intéressé à la même chose mais cette fois-ci avec les diagonales des carrés comprises. Je me suis servi d'une variante du triangle de Pascal, et j'aimerais trouver les premières formules.
J'ai juste trouvé les quelques premières :
Sur un <math>\(1\times n\)</math> : <math>\(2n+1\)</math>
Sur un <math>\(2\times n\)</math> : <math>\(n+1(2n)+1\)</math> ou <math>\((n+1)^2 + n^2\)</math>
Sur un <math>\(3\times n\)</math> : <math>\((2n+1)\times (2\times n^2 + 2n + 3)/3\)</math>
Je ne vois pas vraiment de proportionnalité. Est-ce qu'il y en a d'ailleurs ? Quelles sont les prochaines formules ? Merci d'avance.

Salut,
bon, déjà, désolé de te decevoir mais pour ce genre de problème, on utilise pas vraiment le triangle de Pascal (ou ces variantes), mais plutôt les combinaisons et arrangements. (wikipédia présente bien ces notions) C'est bien plus simple que de chercher dans un triangle.


Pour le premier, avec un rectangle de <math>\(L\times l\)</math> tu as quelquechose comme

<math>\(n_{combinaison}=\text{C}_{L+l}^l=\text{C}_{L+l}^L=\frac{(L+l)!}{L!\times l!}\)</math>

En fait, pour faire le lien avec le triangle de Pascal, le nombre situé à la ligne <math>\(l\)</math> colonne <math>\(c\)</math> est <math>\(\text{C}_l^c\)</math>.


Pour le second, je cherche un peu, c'est moins intuitif. Si je trouve, je te poste ça.

Peut être quelque chose dans ce goût là : (<math>\(2Ll\)</math> étant sauf erreur le nombre de diagonales)

<math>\(\text{C}_{L+l+2Ll}^{l+Ll}=\frac{(L+l+2Ll)!}{(l+Ll)!\times (L+Ll)!}\)</math>.

On ne l'utilise peut-être pas, mais on peut quand même voir le rapport avec le Triangle de Pascal couché et les possibilités de trajet notées sur un carré (un peu comme ça) :


OK je suis nul avec Paint. C'est pour ça que mon nouveau tuto sur le Triangle de Pascal est un peu foutu

Ben c'est exactement ce que je te dit :
<math>\(C_l^c\)</math> est à la ligne l colonne c (pas besoin de le coucher, on le garde droit).

C'est pas drôle de demander les solutions quand on trouve pas le Project Euler...