Bonjour à tous,

Un petit DM pour demain et quelques difficultés pour trouver la primitive d'une fonction. Je vois pas trop comment aborder le problème en fait.
Et j'ai eu beau chercher sur la toile, mes recherches sont restées infructueuses.

Soit <math>\(f\)</math> la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> par <math>\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)</math>
Donner la primitive notée <math>\(F\)</math> de <math>\(f\)</math> telle que <math>\(F(0) = 0\)</math>

Mon problème est que <math>\(f(x)\)</math> ne ressemble à aucune forme remarquable.
À la limite on pourrait en sortir une forme <math>\(\frac{u'}{u}\)</math> mais ça donnerait du <math>\(f(x) = \frac{1}{2x} \times \frac{2x}{1+x^2}\)</math> or mon prof a clairement dit qu'on n'avait pas le droit de forcer l'apparition d'une forme en utilisant des <math>\(x\)</math>.

Comment faire alors ?

Merci beaucoup.

Tu connais les fonctions trigonométriques réciproques ?

Non, jamais ouïe dire !

Donc tu ne peux pas trouver une primitive

Edit : l'exercice demande explicitement de calculer une primitive ?

Hmmm...
Maintenant que j'y pense, c'est peut-être justement là où veut mener le DM.
En effet, plus bas, il s'agit de démontrer que <math>\(F(tanx) = x\)</math> (donc que <math>\(F\)</math> est la réciproque de <math>\(tan\)</math> qui est une fonction trigo).

Sauf que je n'arrive pas non plus à démontrer ça (que <math>\(F(tanx) = x\)</math>).
Et justement, je pensais avoir besoin de l'expression de <math>\(F\)</math> pour exprimer <math>\(tan\)</math> dedans et montrer que ça vaut bien <math>\(x\)</math>.

Tu me suis ?

Edit : si cette démonstration demande plus d'informations à propos de <math>\(F\)</math>, j'ai déjà démontré qu'il s'agissait d'une fonction impaire. Est-ce que ça colle ?

Est-ce que tu peux photocopier ou écrire l'énoncé complet ?

Soit <math>\(f\)</math> la fonction définie par <math>\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)</math>
Soit <math>\(F\)</math> la primitive de <math>\(f\)</math> telle que <math>\(F(0) = 0\)</math>
Soit <math>\(h\)</math> la fonction définie par <math>\(h(x) = F(x) + F(-x)\)</math>
Montrer que <math>\(h\)</math> est constante. Que vaut cette constante ?
En déduire la parité de <math>\(F\)</math>

Jusqu'ici aucun problème, on dérive <math>\(h\)</math> et on trouve <math>\(h'(x) = 0\)</math> et comme <math>\(F(0) = 0\)</math>, <math>\(h\)</math> est donc une constante égale à 0.
En repassant <math>\(F(x)\)</math> à gauche il est immédiat que <math>\(-F(x) = F(-x)\)</math> donc <math>\(F\)</math> est impaire.

Soit <math>\(g\)</math> la fonction définie sur <math>\(] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} [\)</math> par <math>\(g(x) = F(tanx)\)</math>
Montrer que <math>\(g(x) = x\)</math>

Dérive <math>\(g\)</math>

<math>\(tan'(x) = \frac{1}{cos^2x}\)</math> (est-il nécessaire de démontrer ce résultat ?)

<math>\(g'(x) = tan'(x) \times F(tanx)\)</math>
...
...
<math>\(= \frac{1}{cos^2x} \times \frac{cos^2x}{cos^2x+sin^2x} = 1\)</math>

Ce qui veut donc dire que <math>\(f(tanx) = 1\)</math> (1)
Est-ce suffisant pour en déduire que, comme <math>\(F\)</math> est la primitive de <math>\(f\)</math> telle que <math>\(F(0) = 0\)</math>, alors en "primitivant" (1) on retrouve <math>\(F(tanx) = x\)</math> ?

Ou sinon <math>\(\tan'(x)=\tan^2(x)+1\)</math> c'est encore plus rapide

Sinon oui c'est ça, tu en déduis que g est de la forme <math>\(g(x)=x+c\)</math> où c est une constante réelle, tu utilises la condition initiale et le tour est joué

Mais c'est formidable !

Un très très grand merci l'ami !

Je suppose que ce ne sont que des erreurs de recopie, mais je préfère corriger quand même :

Citation : Xango

<math>\(tan'(x) = \frac{1}{cos^2x}\)</math> (est-il nécessaire de démontrer ce résultat ?)

<math>\(g'(x) = tan'(x) \times F'(tanx) = tan'(x) \times f(tanx)\)</math>(et non <math>\(tan'(x) \times F(tanx)\)</math>)
...
...
<math>\(= \frac{1}{cos^2x} \times \frac{cos^2x}{cos^2x+sin^2x} = 1\)</math>

Ce qui veut donc dire que <math>\(f(tanx) = 1\)</math> (1) Non, <math>\(f(\tan(x)) = \frac{1}{\tan'(x)}\)</math> cf plus haut.
Est-ce suffisant pour en déduire que, comme <math>\(F\)</math> est la primitive de <math>\(f\)</math> telle que <math>\(F(0) = 0\)</math>, alors en "primitivant" (1) on retrouve <math>\(F(tanx) = x\)</math> ?
Tu poursuis ici l'erreur précédente, c'est justement pour éviter la confusion que l'énoncé renomme <math>\(g\)</math> la fonction <math>\(x\mapsto F(\tan(x))\)</math> : <math>\((F(\tan(x)))' \neq F'(tan(x))\)</math> et donc <math>\(F(\tan(x))\)</math> n'est pas une primitive de <math>\(f(\tan(x))\)</math> (tu ne fais d'ailleurs pas cette erreur quand tu dérive <math>\(g\)</math>)
Par contre, comme le signale Manuu, tu as bien <math>\(g'(x) = 1\)</math> et donc <math>\(g(x) = x + C\)</math>, <math>\(C=0\)</math> se déduisant du fait que <math>\(g(0)=0\)</math> qui se déduit du fait que <math>\(F(0)=0\)</math> ET que <math>\(\tan(0)=0\)</math>.

Merci pour ta remarque Rushia !
Je n'avais pas fait cette erreur dans ma copie mais tu as bien fait de le préciser car je m'aperçois que ce n'était pas clair dans mon esprit (l'erreur venant du fait que je pensais que <math>\((F(tanx))' = F'(tanx)\)</math> ce qui j'en conviens maintenant est faux).

Par contre, ma question initiale (même si finalement elle n'a pas de lien avec le DM) m'intrigue... Comment faire pour trouver une primitive de <math>\(f\)</math> dans ces cas-là ?

Et bien ton DM propose justement un raisonnement donnant une primitive de <math>\(f\)</math>.
En fait, on peut montrer plus directement que la dérivée de <math>\(\arctan\)</math> est <math>\(x\mapsto\frac{1}{1+x^2}\)</math>, c'est même relativement facile :
On sait que
<math>\(\forall x\in\mathbb{R}, \tan(\arctan(x))=x\)</math>, en dérivant on en déduit :
<math>\(\forall x\in\mathbb{R}, \arctan'(x)\tan'(\arctan(x))=1\)</math> puis utilisant <math>\(\tan'(x)=1+\tan^2(x)\)</math>, on arrive à : <math>\(\forall x\in\mathbb{R}, \arctan'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(x))}=\frac{1}{1+x^2}\)</math>

Parfait,

Merci beaucoup !