Bonjour à tous.

Je sais qu'à la rentrée nous allons aborder les primitives donc, curieux, je me suis un peu penché sur la chose. Et pour être honnête, je suis un peu rentré bredouille de mes recherches.

En fait, si tout le monde s'acharne à dire que la primitive d'une fonction n'est autre que la réciproque de la dérivée de cette même fonction (ce qui n'est pas bien difficile à assimiler), je suis davantage intrigué par ce que représente réellement cette primitive.

En effet, si la dérivée nous donne le nombre dérivé de la fonction initiale en un point d'abscisse donnée <math>\(a\)</math> (c'est-à-dire la pente de la tangente à sa courbe en ce point), je n'ai rien pu trouver sur un quelconque "nombre primitif" ou quelque chose du genre, ni un quelconque lien graphique sur une information apportée par la primitive.

Je sais qu'elle s'utilise beaucoup pour les intégrales (que je n'ai pas encore vues), c'est-à-dire a priori l'aire entre deux courbes, mais quelle information apporte réellement cette primitive ? Pourquoi l'utilisons-nous ?

Merci d'avance pour ces éclaircissements !

Petit topo.
On se donne une fonction f de R dans R continue (par morceaux si on veut).
On dit que F est UNE primitive de f ssi F'=f.

Par ailleurs, l'aire sous la courbe de f entre les droites d'équation x=a et x=b (qui est par définition l'intégrale de f entre a et b, noté <math>\(\int_{a}^bf(x)dx\)</math> ) est la valeur <math>\(F(b)-F(a)\)</math>.

Après,si tu continues des études scientifiques tournées vers les maths/physique, tu verras que des intégrales tu vas en manger partout, tout le temps.

Merci de ta réponse,

Mais encore une fois tu m'as juste rappelé ce que j'avais déjà écrit dans mon premier message, à savoir qu'une primitive est la réciproque de la dérivée.

Ca me dit pas pourquoi on l'utilise afin de trouver l'aire sous la courbe... Tu comprends ce que je veux dire ?

La formule donné par Davidbrcz, qu'on appelle souvent "théorème fondamental de l'analyse" donne ce lien.

On peut facilement justifier (très largement accessible niveau TS) que l'intégrale d'une fonction continue entre deux points correspond à l'aire sous la courbe de cette fonction. La primitive permettant de calculer des intégrales facilement, on peut les utiliser pour calculer, donc, des aires.

Démo du lien entre intégrale et primitive (théorème fondamental de l'analyse).
Soit f une fonction de R dans R continue (on va pas se prendre la tête) et soit <math>\(F:x\to \int_0^xf(t)dt\)</math>
Soit <math>\(x_0\)</math> dans R et h strictement positif.

Sur l'intervalle <math>\([x_0;x_0+h]\)</math>, f (qui est continue), va atteindre un maximum et un minimum que je vais noter respectivement <math>\(m_h\)</math> et <math>\(M_h\)</math> (ces extremums peuvent varier en fonction de h, c'est pour cela qu'ils sont indicés par h). Le nombre <math>\(\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt\)</math> est alors compris entre <math>\(hm_h\)</math> et <math>\(hM_h\)</math> (suffit de faire un dessin pour le voir).
On a alors <math>\(m_h \leq \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt \leq M_h\)</math>

Par ailleurs, on a <math>\(\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt\)</math> en utilisant la relation de Chasle et l'inversion des bornes dans l'intégrale.

Le fonction f étant continue, elle prends sur <math>\([x_0;x_0+h]\)</math> toutes les valeurs entre <math>\(m_h\)</math> et <math>\(M_h\)</math> (qui sont, pour rappel, son min et son max sur l'intervalle qu'on considère).

Il existe donc <math>\(u_{x0}\)</math> dans <math>\([x_0;x_0+h]\)</math> tel que <math>\(f(u_{x0})=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt\)</math>

En faisant tendre h vers 0 (passage à la limite !), il vient que <math>\(u_{x0} \to x_0\)</math>. Par ailleurs, quand h tend vers 0 la quantité <math>\(\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\)</math> tend vers <math>\(F'(x_0)\)</math> (par définition du taux d’accroissement).

donc par continuité de f, on a <math>\(f(x_0)= F'(x_0)\)</math>
CQFD

J'espère avoir été clair. N'hésite pas à relire plusieurs fois, car c'est (au niveau TS) une démo par hyper évidente. je sais qu'elle m'avait posée quelques soucis au début.

Bah voilà c'est exactement ce que je cherchais.

En fait, si j'ai bien compris, on a créé les primitives par nécessité pour les intégrales car on a constaté qu'on avait simplement besoin de la réciproque de la dérivée c'est ça ?
Donc les intégrales ne découlent pas des primitives mais c'est bien l'inverse. Me trompe-je ?

Citation : Xango

Mais encore une fois tu m'as juste rappelé ce que j'avais déjà écrit dans mon premier message, à savoir qu'une primitive est la réciproque de la dérivée.

C'est très mal dit... Et en plus c'est faux...

Ce que tu voulais dire:

L'application primitive est la réciproque de l'application dérivation.

C'est à dire que si l'on dérive une fonction et que l'on prend la primitive de la fonction obtenu, on doit retomber sur la fonction de départ, pareil dans l'autre sens.

C'est faux.

Un exemple:

Soit

<math>\(f:x \rightarrow f(x)=x^2\)</math>

Soit <math>\(D\)</math> l'application qui a une fonction associe sa dérivé et <math>\(P\)</math> l'application qui a une fonction associe sa primitive.

Alors:

<math>\(D(f)=2x\)</math>

On applique P à la fonction obtenue:

<math>\(P(2x)=x^2+5\)</math>

Donc on n'est pas retombé sur la fonction <math>\(f\)</math>, donc <math>\(P\)</math> n'est en rien l'application réciproque à <math>\(D\)</math>.

Notons que "sa primitive" n'a pas de sens, il existe une infinité de primitives différentes.

Oui, et elles diffèrent toutes d'une constance, c'est justement parce que l'application qui a une fonction associe UNE primitive n'est pas bijective que ça ne marche pas.

Merci Ahti, mais alors quelle est la définition exacte ?
Est-ce plutôt : si une fonction <math>\(F\)</math> a pour dérivée <math>\(f\)</math>, alors <math>\(F\)</math> est une primitive de <math>\(f\)</math> ?

Car si j'ai bien compris, en fait, pour que <math>\(F\)</math> soit une primitive ça n'a besoin de fonctionner que dans un seul sens (à savoir sa dérivée doit être <math>\(f\)</math>), mais il n'est pas nécessaire que faire une application primitive à <math>\(f'\)</math> nous fasse retomber sur <math>\(f\)</math>. Donc il ne faut pas mettre "si et seulement si", mais plutôt "si... alors". C'est ça ?

Voilà la définition donnée par Davidbrcz

Citation : Davidbrcz

Petit topo.
On se donne une fonction f de R dans R continue (par morceaux si on veut).
On dit que F est UNE primitive de f ssi F'=f.
.

En fait une fonction f admet une infinité de primitive, et chacune de ces primitives diffèrent d'une constante.

C'est à dire que si F et G sont deux primitives de f, il existe alors une constante c, telle que:

F(x)=G(x)+c

D'accord, parfait.

Merci à tous pour vos précisions, ça m'a beaucoup aidé !