Bonjour, j'ai un exercice de probabilité que je n'arrive pas à résoudre.

L'exercice est le suivant : "Deux amis se donnent rendez vous entre 12h et 13h. Le premier qui arrive attend MAXIMUM 15min l'autre. Quelle est la probabilité qu'ils se rencontrent ?"

J'ai beau réfléchir je ne trouve pas la solution, et j'aimerai bien aussi comprendre la démarche pour être capable de l'expliquer. 

En sachant que si le premier arrive par exemple à 12h50, il attend jusque 13h et pas 13h05. L'attente ne doit dépasser ni 13h ni 15 min. 

Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice ? Et à pouvoir l'expliquer ?

Merci

EDIT: une autre difficulté est que je dois être le plus précis possible au niveau du temps d'attente 

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Edité par I-Scryper 22 mai 2019 à 11:32:22

Il y a des informations qui manquent. Quel est le 'profil' des 2 amis. On peut avoir des gens 'ponctuels' : si le RDV est entre 12h et 13h, il vont faire en sorte d'arriver dès 12h, pour ne pas faire attendre l'ami. On peut avoir des gens mal-élevés, ils vont arriver systématiquement peut avant 13h, et tant pis si l'autre attend longtemps.

Si nos 2 personnes ont le même profil, alors tout va bien, ils arriveront quasiment en même temps. Mais sinon, ils sont sûrs de ne pas se rencontrer !

On va donc ajouter une information : nos 2 individus sont 'normaux' : la probabilité qu'ils arrivent à l'instant T suit une loi uniforme : il y a autant de chances qu'ils arrivent entre 12h00 et 12h05 qu'entre 12h05 et 12h10 etc etc. La probabilité est de 1/12 pour chacune de ces 12 tranches.

On a donc 2 individus A et B.

Si A arrive entre 12h15 et 12h45, alors il y a une tranche de 30 minutes autour de l'heure d'arrivée de A qui convient. Donc si A arrive entre 12h15 et 12h45, la probabilité que les 2 amis se croisent est de 50%

Si A arrive avant 12h15, la tranche 'favorable', ne fait plus 30 minutes, mais un peu moins. (voire beaucoup moins s'il arrive juste à midi). Je te laisse chercher le calcul. 

Et Si A arrive après 12h45, pas la peine de refaire les calculs, les résultats seront la copie de la tranche 12h-12h15. 

J'ai donné le plan. A toi de finir.

comme le rappelle tbc92, il faut faire une hypothèse sur la loi d'arrivée. Sans indication particulière il est logique de considérer que la loi est une loi uniforme entre 12 et 13 heures.
Ensuite personnellement j'avoue que je me perds un peu dans les suggestions de tbc92. Le fait que on demande d'être le plus précis possible suppose de considérer une loi continue et non un découpage en tranches de l'intervalle.

Selon le niveau auquel est posé l'exercice, il y a plusieurs façons de faire .

Une  façon "compliquée" ( dans le sens pas du niveau Lycée) est de trouver la densité de probabilité suivie par la variable \(\vert X-Y \vert\)  différence de deux variables de loi uniforme. La loi de \(\vert X-Y \vert\) n'est pas une loi uniforme. ( on doit en passer par là lorsque l'exercice pose d'autres questions que celle demandée ici, par exemple celle du temps moyen d'attente).

Il y a une façon très simple d'évaluer la probabilité de se rencontrer  par des considérations géométriques élémentaires .

indication:

Les variables étant indépendantes, tous les  couples d'arrivées (x,y)  décrivent la surface d'un carré de côté 1 ( en heure) et la loi sur ce carré est évidemment uniforme.

La contrainte de l'énoncé revient à dire que on doit avoir  \(\vert x-y \vert \leq 1/4\).  L'équation  \(\vert x-y \vert = 1/4\) définit deux droites qui découpent une surface entre les droites et à l'intérieur du  carré facile à calculer, égale  à la probabilité cherchée.

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Edité par Sennacherib 23 mai 2019 à 19:31:16

Effectivement, la surface de l'hexagone obtenu est très simple à calculer (en fait c'est surtout la surface des 2 triangles extérieurs à l'hexagone qui est facile à calculer).

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Edité par tbc92 24 mai 2019 à 10:43:40