Probabilité : Problème incompréhensible =/

Et pourtant il paraissait si simple...

Anonyme

30 juin 2011 à 15:39:43

Bonjour, voici le problème en question

Citation : Problème

A local fraternity is conducting a raffle where 50 tickets are to be sold - one per customer. There are three prizes to be awarded. If the four organizers of the raffle each buy one ticket, what is the probability that the four organizers win :

a) all of the prizes ?
b) exactly two of the prizes ?
c) exactly one of the prizes ?
d) none of the prizes ?

Solution :

a) 4/19600
b)276/19600
c)4140/19600
d)15180/19600

Alors que c'est supposé être un banal problème de dénombrement, où il faut trouver le nombre de cas favorables qu'on divise ensuite par le nombre de cas possibles de tomber sur les tickets gagnants pour trouver la probabilité, je ne sais pas comment m'y prendre.

Ici on remarque que le nombre de cas favorables c'est 19600, ce qui correspond à une combinaison avec n=50 et r=3, ce qui nous donne le nombre de possibilités de sélectionner trois tickets gagnants parmi les 50 tickets.

Ensuite pour le a par exemple, j'aurai dit qu'il faut que trois des organisateurs prennent les trois tickets, et que le dernier en prennent 1 parmi les 47 non gagnants restants d'où : 3 nCr 3 * 47 nCr 1 mais la réponse n'est pas correcte.

Finalement j'ai quand même pu trouver la réponse intuitivement en nommant les 4 gars A B C et D et en trouvant qu'il y a 4 possibilités différente qu'il reçoivent les tickets gagnant, mais pour les autre je cale complètement....

Donc voilà, si quelqu'un sait m'expliquer ce serait sympa ! J'espère avoir été clair.

Merci d'avance.

Caduchon

30 juin 2011 à 16:28:25

Il aurait peut-être été mieux de traduire l'énoncé...

Le nombre de cas possibles est bien <math>\({50 \choose 3} = 19600\)</math> si on considère les trois prix comme indifférentiables (une hypothèse qui peut être faite ici).

Pour le a) tu dois donc te demander de combien de façons les 4 organisateurs pourraient rafler les trois prix. Comme les prix sont indifférentiables, la seul différence d'une combinaison à l'autre est celui qui n'a rien gagné. Il sont 4, il y en a 1 qui n'a pas gagné, donc 4 cas possibles.
Ainsi tu obtiens <math>\(\frac{4}{19600} = \frac{1}{4900}\)</math>.

Pour le b), de combien de façons 4 organisateurs peuvent se répartir deux prix ? Et de combien de façons les 46 autres participants peuvent se répartir un prix ?

Pour le c), de combien de façons 4 organisateurs peuvent se répartir un seul prix ? Et de combien de façon les 46 autres peuvent se répartir deux prix ?

Pour le d) je te laisse poser la bonne question tout seul.

Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\

CastorJo

30 juin 2011 à 16:52:37

Bonjour,
tu es sûr de tes réponses?

Parce que moi, j'aurai dit la chose suivante :
Il y a <math>\(\binom{50}{4}\)</math> combinaisons pour acheter 4 billets parmi les 50, soit 230300.

On en tire donc les réponses suivantes (attention il y a les réponses..)

Pour la question a), on veut gagner les trois prix, c'est à dire qu'on ait 1 billet perdant sur les 47, et 3 billets gagnants sur les 3, d'où la probabilité : <math>\(\dfrac{\binom{47}{1}\binom{3}{3}}{\binom{50}{4}} = \dfrac{47}{230300}\)</math> .

Pour la question b), on veut gagner exactement deux prix, c'est à dire qu'on ait 2 billets perdants sur les 47, et 2 billets gagnants sur les 3, d'où la probabilité : <math>\(\dfrac{\binom{47}{2}\binom{3}{2}}{\binom{50}{4}} = \dfrac{3243}{230300}\)</math> .

Pour la question c), on veut gagner exactement un prix, c'est à dire qu'on ait 3 billets perdants sur les 47, et 1 billets gagnants sur les 3, d'où la probabilité : <math>\(\dfrac{\binom{47}{3}\binom{3}{1}}{\binom{50}{4}} = \dfrac{48645}{230300}\)</math> .

Pour la question d), on ne veux gagner aucun prix, c'est à dire qu'on ait 4 billets perdants sur les 47, et 0 billets gagnants sur les 3, d'où la probabilité : <math>\(\dfrac{\binom{47}{4}}{\binom{50}{4}} = \dfrac{178365}{230300}\)</math> .

C-j

30 juin 2011 à 17:22:40

J'ai fait le même raisonnement, mais après simplification, on trouve la même chose

Caduchon

30 juin 2011 à 17:44:32

Sauf qu'il n'y a que 3 billets gagnants parmi 50 billets.
Il ne sert à rien de regarder les 4 billets achetés par le staf, tout ce qui compte ce sont les trois billets gagnants attribués ou non au staf.

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Anonyme

30 juin 2011 à 18:51:54

Merci pour vos réponses ! Ca m'aide vraiment.

D'ailleurs, je m'y suis pris la première fois comme Castorjo, mais après simplification on arrive à une réponse légèrement différente à chaque fois et du coup j'ai cherché autrement mais je n'arrivais pas à rentrer dans "l'autre logique", celle où "Il ne sert à rien de regarder les 4 billets achetés par le staf".